CHAPITRE III

Détermination de la rdation la plus générale possible eivbre un nombre quelconque de fonctions elliptiques de la même variable et du même module; ou solution du problème C.

Soit comme précédemment

jx=±y{i—x'){i — c^x'),

eux, €5qX les fonctions des deux premières espèces et ITa^j Fla^^ . . . ITa^ des fonctions de la troisième espèce, ayant pour paramètres «i, «a? • • • <^^î de sorte que

/dœ Cx^dx rw C dx

Cela posé, il s'agit de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation

j /3cDX + /îoO>0^ + /îl/7«i + /î.^«.H h/î«fl^«n

I ^'^■i' A^ogv,-\- A^logv^-^ f-^^logv^.

En vertu du théorème VI on peut supposer que u^ v^j v^j . . . Vy soient de la fonne p-\-qJXj oh p et q sont rationnels en x.

Nous supposons^ ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver une relation semblable, qui ne contienne pas toutes les fonctions /7«i, ITa^j . . . 77«n- Nous supposons encore qu'aucun des paramètres «i, «g, . . . a„

ne soit égal à ±1 ou à + — ; car dans ce cas on pourrait, comme on sait,

réduire la fonction correspondante de la troisième espèce aux fonctions iBx et (BqX.

Cela posé, désignons le premier membre de l'équation (92) par tpx et le second par u--\-JSAlogv. On aura

(93) yjx = U'^2:A\ogv.

Il est clair que cette équation aura encore lieu si le radical .ix change de signe. Donc en désignant par ?^' et i/ les valeurs correspondantes de u et v^ on aura

— ^px = u' -\- JSA log v\ C^ela donne

Mettons ici — x au lieu de -{--x^ on pourra supposer que /fx reste invariable; la fonction yjx changera de signe, et par conséquent on aura, en désignant par u'\ tt'"^ v'\ v'" les valeurs correspondantes de w, u\ v^ v':

-2ipx = u''- u''' + 2: A log ^,,

De là on tire

rt.x = ^ {u -u'- u^' + n-) +i2:A log ;;,, • Soit

V = jp -|- 2^ H" {p' H" s'^) '^^7

Pt (7? V\ 9l étant des fonctions paires, on aura

v' ■=.'P'\'qx — (^' -|- (^qS) Jx^

v'^ =-2^ — ?^ "h {p' — q'x)/îx^

v"' =zp — qx — {p' — q^x).ix^ donc

V v''' =2)' — q'x' — (;/^ — q''x') {.ix)' + 2x{pq' — qp') Jx, ?;'?/'=;>« — 2V — (/' — 2'*ir*) (./x)* — 2x (/Y — (7y/)./.r,

par conséquent on aura ,

rt'"' fx -\- ffx . Jx

V V JX — ifX . Jx

fx et (f'X étant des fonctions entières, dont Tune est paire et l'autre ùnjmire. Nous les supposerons, ce qui est permis, sans diviseur commun.

La partie algébrique ^{u — w'-j-t^''' — ti'') est évidemment de la forme rJx^ où r est une fonction impaire de x. En écrivant A au lieu de |--4, l'expression de ytx prendra la fonne suivante:

PKKCI8 U'UNK TIIÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 559

(94 ) xfjx = rJx-\-2A\os ff^^^^f- .

Quant aux coefficiens A^^ A^^ . > . Ay^ nous pourrons supposer qu'il soit impossible d'avoir entre eux une relation de cette forme

(95) mi^i-(-W2J.2-|- • • • '^myAy = Oj

où m^, m^, . . . m^ sont des nombres entiers. En eflfet, si cette équation avait Heu, on aurait

^^logt,= ^JAlog4^+^,log4^+...+^,,log%l,

c'est-à-dire :

2Alogv = A,'logv,'-\-A^'\ogv^'-] \-A'y^logv'y,,

équation dont le second membre contient un nombre moindre de logarithmes que le premier. On pourra répéter cette réduction jusqu'à ce qu'une équation telle que (95) soit impossible. Cela posé, il faut prendre la différentielle des deux membres et comparer entre elles les fonctions algébriques qui en résultent.

Considérons d'abord la partie logarithmique du second membre de la formule (94). Soit pour abréger

/Q^N , />r -f- cpœ . Jx

^ ^ ^ fx — (px.Jx^

on aura, en différentiant, un résultat de la forme

v.dx

^^ ^) ^^~ '{{fxy — {(fx) 2 {jx) «] jx '

oïl V est une fonction paire et entière de x^ savoir

(98) v = 2{fx.(p'x—(px.f'x){Jxy — 2fx.(px.[{l^c^)x — 2c^x''].

En faisant

(99) 0x={fxy — {(pxy{jxy,

on pourra aussi mettre ^; sous cette forme:

(100) V(px = 2f'x .Ox—fx. O'x,

équation facile à vérifier.

Cela posé, décomposons la fonction entière 6x en facteurs de la forme {x^ — ^*)"S ôt faisons en conséquence:

(101) (/x)» — (<^x)*(.yx)* = (a;* — aî)-'(a;* — aj)"» . . . (»» — a*) "/. = <?».

560 PKKCI8 D*UN£ TUÉOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Maintenant Téquation (100) fait voir que si 6x a le facteur (x* — «*)"? v aura nécessairement le facteur (x* — a*)"*"^; donc la fonction fractionnaire

y: pourra être décomposée de la manière suivante:

où < est la partie entière, /?/, /î^', . . . /9^' des constantes. D'abord je dis que t est une constante. En effet l'expression (98) de v fait voir que le degré de cette fonction ne pouri'a jamais surpasser celui de Ox. Pour trouver les coefticîens /?/, /?/, . . . , appelons /î' l'un quelconque d'entre eux, correspondant au facteur (x* — a*)*" de 0x. On aura

/9 =-^^^-/ pour a: = a,

mais si l'on fait

êx — Ii{a' — xy,

on aura en vertu de l'équation (100)

-^—^ ^ = -^- (a* — a;*) — ^ ^-^- (a* — x^) -f 2mic ^^— ,

donc en faisant x=^a

* (pa

Or on a (/a)* — (9)a)\z/a)* = 0, donc

y» -|- 9?a . Ja = 0, et par suite

/?' = — 2maJa^ On a donc

^ ' ^ Bx a\ — x^ a\ — x^ a^ — x^

En multipliant par -y- on aura la valeur de d^). La formule (94) donnera donc, en difi'érentiant,

' ' a\ — x^ a\ — x^ oj — x^ dx ^ ^ *-^ ^ J

-X^Aih '^''^i<^i^^i 2m^a^Ja^

aj — x^ a| — x^

4" etc.

En substituant pour r une fonction rationnelle quelconque de x, on voit sans peine qu'il sera impossible de satisfaire à c^e équation, à moins que r ne soit égal à zéro. En se rappelant que nous avons supposé qu'il soit impossible de trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions ria^ , 77«jj , . . . IJa^j et en ayant égard à l'impossibilité d'une équation de la fonne (95), on se convaincra aisément que tous les coefticiens A^^ A^, . . . Ay doivent être imls excepté un seul. Soit donc

A^=:zA^= ' * ' =Ay = 0 et u4i=l, on aura

' ' ' ' af — A'* ' a| — x^ ^ ' aj — .r

I 2 m^ a^ Ja^ 2 m^ a, Ja^ 2 m^ a^ Ja^^

a\ — x^ a\ — x^ aft — .r*

donc

/î=:fcj, /îo = 0, «i = ai, «^ = ^25 • • •

Pi — ;; — ' 1^2 — —

ttj ' * «j

Cela posé, la formule générale (94) prendra la forme

/in>i\ ,j ^ 2in.Ja. ,^ 2ninJa,t ^ , fx'\-ax, Jx , ^

(104) /J.cSu;-— ^-Ji7a, —- /y«« = log)^^^;^^+C,

OÙ les paramètres «i, «g, . . . «„ doivent satisfaire à l'équation

(105) {fxy—{ipx)\l — x^){l — c^x^) = {x^~aX)''^{x^ — a'^''^...{x^ — al)^^

l'une des fonctions fx^ ipx étant paire et l'auti'e impaire.

Telle est donc la relation la plus générale entre des fonctions rapportées au même module et à la même variable. Il est remarquable que la fonction de la seconde espèce n'enti-e point dans cette relation. Quant à la quantité constante /? qui multiplie la fonction de la première . espèce cDx, elle pourra dans certaines circonstances se réduire à zéro.

L'équation (105) qui donne les relations nécessaires entre les paramètres «1, «2, . . . a„ est précisément de la même fonne que celle que nous avons considéré dans le chapitre I. En regardant a^, «jj, . . . a„ comme des variables, elle donnera en vertu du théorème I,

(106) \ 11^ » I I n n 2Ja ^fa—{fa.Ja

5f;2 PKËCIS D'UNE TUÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Les paramètres «i, a^, . . . «^ satisfont donc à Féquatioii différentielle

Pour avoir toutes les fonctions de la troisième espèce qui soient réductibles indéfiniment à la première espèce, il faut faire n=l. En posant ai=a, Wi = w, on a

(108) ria = ,—-. (Dx— ^ .- log -.-^ '— -— .

Pour déterminer le paramètre «, on aura dans ce cas Féquation

(109) i/xY — {(pxY (1 — x') (1 — c'x') = (x* — ay,

ce qui fait dépendre a d'une équation qui est généralement du degré //i*. Le cas le plus simple est celui où m =2. On aura dans ce cas

-y=l, fx = €UC,

donc

donc a pourra avoir les deux valeura ? • Les valeurs correspondantes de a sont 1 — ? 1 + • On aura ainsi

" Wc ) -J (i-c.v')j. -'-'''' ^^i-i 1^^ ^:sï^,-v-rj. '

où Ton pourra changer le signe de c.

Si m = 3, on aura dans le cas où fx est impair,

fx = x^'-\-ax^ (px = bj donc

{x'-\-(ixy — b\l—x'){l — c'x') = {x' — ay.

De là on tire

a^ = b, a» + aa + i^a = 0, 2a — c^b* = — Sa% «' + (1 -f c*)6' = 3a%

donc en éliminant a et 6 on trouvera

Si donc a est une racine de cette équation, on aura

rr r dœ i ^ , a i j.3 | i (c2a6 3a«).r + a*- ^*^

Généralement la quantité a sera, pour un m quelconque, racine de Tune des deux équations

où x^ est la fonction de x que nous avons considéré dans le paragraphe 4 du chapitre I, et qui est telle qu'on ait

dx^ dx

/îx^ Jx

et en même temps

a:„ = 0 pour a: = 0.

On pourra encore remarquer que si Ton désigne par a une racine de x^ = 0, — sera racine de Téquation x^=z^. Pour prouver que a satisfait à l'une des équations (110), il suffit de remarquer qu'on a (39):

(111) p' - q\^xy = {x' - ay{x' - ai),

OÙ a„ désigne la même fonction de a, que x^ de x. En multipliant les deux équations (109, 111) membre 4 membre, il viendra

(lir) [pfx±q<px{JxyY — {pipx±qfx)\Jxy = {x' — ay{x* — ai).

Or on tire des mêmes équations

R étant une fonction entière. De là il suit que l'une des deux fonctions

pfX'-\-q(px{Jxy^ pfx — q(px{Jxy

sera divisible par {x* — «*)"*; donc en divisant l'équation (111') par {x^ — a*)**", on aura un résultat de la forme

r'-ç*{Jxy=zx'-al„

OÙ l'une des fonctions r et p sera paire et l'autre impaire. On doit donc avoir d'abord p = 0, et ensuite r* = x* — ai, d'où a„ = 0, ou a^ = ^. Réciproquement, si l'une de ces équations a lieu, il est clair par la forme de

réc[iiatîou (111) qu'on p)urra satisfaire à réqiiation (109). Il est à remarquer que dans le cas que nous considérons, /î ne pourra jamais être zéro. Donc il n'existe pas de fonction de la troisième espèce, exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques.

Le cas particulier le plus remarquable de la formule générale (104) est celui où n = S et 7ni=7n^ = m^ = l. Dans ce cas, en faisant «3 = a, ./aj= — Ja^ on aura

(112) •^"'/7« +^«»/7«, = :^-«/7« + /^.«»x-Alog-? + "^"f , oh

(113) { de sorte que

{x'-^axy — b\l—x'){\—c'x') = {x'---a'){x'—al){x' — al),

d'où l'on tire, comme dans le paragraphe 3 du chapitre I,

(114) ( h=aaia^] a = ^{c^a*alal — a* — «ï — a^),

~ = — - — : (1= — e^aaia^.

a aa^a^ ' ' '

Les deux paramètres «i, a^ sont donc arbitraires.

Comme cas particulier on doit rewiarquer celui où «^ est infini. On

aura dans ce cas