CHAPITRE IV
De r équation (1 —yi)(l —c'^t/^) = r^(l — .t^)(1 — c^j;^).
Considérons maintenant le problème (A)^ savoir de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation
(118) (i y«)(i c'y) = r''(l-a:«)(l-cV),
y et r étant des fonctions rationnelles de x. La méthode qui s'offre d'abord pour résoudre ce problème est celle des coefKciens indéterminés, mais cette méthode ne paraît guère applicable si le degré de la fonction y est un peu élevé ; du moins son application serait très pénible. Je vais en indiquer une autre qui conduit assez simplement à la solution de ce problème, qui est, ce me semble, le plus important dans la théorie des fonctions elliptiques.
liMu/tioii du prohlhne à celui de satisfaire à rAgiialUyn:
dy dx
Nous allons voir d'abonl que si Téquation (118) a lieu, on doit avoir
nécessairement
1 dy e div
où « est constant.
Il est facile de voir que les deux facteurs 1 — y^, 1 — c'^y^ ne peuvent s'évanouir en même temps, car cela donnerait rî'^=l, mais ce cas est exclu. On doit donc avoir séparément
(119) l-y*=:r\Q, l-c'y = '-ÎC',
Ti et Tj ëtant des fonctions rationnelles dont le prodiiit est égal à r. On aura également
Or, en ditférentiant les deux équations (119), on en tirera
.^^Q. j — 2y dy = 7-, (;•. d(f -\-2if dr,),
I— 2 c'^y dy = )\ (r, d(f'-\- ^if'dr^),
Mais il est clair que y ne pourra avoir aucun facteur commun, ni avec r,
ni avec r,, donc il faut que le numérateur de la fraction rationnelle -j^ soit
divisible par r, et par r^; mais ces deux fonctions ne pouiTont s'évanouir en même temps, donc on doit avoir
(121) ^ = r,r^v = rv,
V étant une fonction rationnelle de x^ qui ne devient pas infinie en atti-ibuant à x une valeur qui donne r = 0. Soit y = - ? oh p et q sont deux fonctions entières de x sans diviseur connnun, on aura évidemment
q^~!^ =ev = '^^>^^-'
dx dœ
Cela fait voir que v est une fonction entière. Or je dis que v se i-éduira à une constante. Désignons par w et w les degrés des fonctions p et ç, et par fi et y ceux de 0 et ?;. Cela posé, il y a trois cas à considérer:
1) Si m> n. Dans ce cas l'équation
fait voir qu'on doit avoir
mais comme on a
il s'ensuit que
donc
ou, puisque 2 m — ^ = 2,
donc
fi-^v = m-\-v — 1 , y < 2m — /Li — 1,
v = 0, et par conséquent v constant.
2) S? n > m. On aura de la même manière
PUËCI8 D'UNE THEORIE DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 567
v<2n — fi — 1, y<l, 1^ = 0,
donc aussi dans ce cas v sera égal à une constante.
3) Si n=zm. Dans ce cas il peut arriver que le degré de l'une des fonctions
soit moindre que n = m. Soit donc par exemple
oîi le degré de y, que nous désignerons par m — fc, ne pouiTa surpasser m. On aura en vertu de l'équation (123)
4w — k=:2fi-\-4j
d'où
27/^ — ,a = 2-f |fc;
maintenant si Ton substitue la valeur de q=p-\-(Pj on aura
do: lia:
donc
si fc > 0, et
fi-\-y = 7n-\-7n — k — 2 = 2m — k — 2,
si k = 0. Dans le premier cas on a
i/=2m — /* — fc— 1=1 — |A; = 0,
et dans le second
y = 2vi — fi — 2 = 0.
Le degré de la fonction entière o est donc dans tous les cas égal à zéro, et par conséquent v se réduit à une constante. En la désignant par fc, on aura
Cela posé, l'équation donnera celle-ci:
508 PKÉCIS D'UNE TUÉOBll!: DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
le problème est ainsi ramené à celui de satisfaire de la manière la plus générale à cette équation en supposant y rationnel en x. En intégrant, on aura
(126) cD(2/,c') = «.cD(x,c) + a
En comparant ce résultat à ce que nous avons démontré dans le chapitre II, on aura ce théorème:
Tliéorhne VIIL „Si Ton a une relation quelconque entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques, et qu'on désigne par c le module de Tune d'elles prise à volonté, parmi les autres fonctions on en trouvera au moins une, de module c', et telle qu'on ait entre /<?s fondions de la première es2)èce^ coiTespondantes respectivement aux modules c' et c, cette relation très simple
oii y est une fonction rationnelle de u? et é une quantité constante."
Ce théorème est de la plus grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques.
Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs de y et des modules c et c propres à satisfaire à l'équation (125). Si la fonction y contient des puissances de x supérieures à la première, elle jouira d'une certaine propriété, qui conduira à son expression générale, en supposant connue la solution complète dans le cas oîi y ne contient x qu'à la première puissance. C'est pourquoi nous donnerons d'abord la solution pour ce cas.
éé»
Solution du m'oUhne dans le ata ou uzz. ,~^ \' '
' ^^ a' -^ fi' X
En substituant cette valeur de y dans l'équation
rien n'est plus facile, que de trouver toutes les solutions possibles. Je vais seulement les transcrire:
PRÉCIS D*UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLlPTIi^UES. ' 569
IL c' = ± -> ^=±CiC, y = ± — î é = ±C,
On voit que le module c a six valeurs différentes. La fonction, y en aura douze, car à chaque valeur de c répondent deux valeurs différentes de y. Ces formules nous seront utiles pour la solution du problème général.
Fropriéié générale de la /(ynctUnt, rationnelle y y qui satisfait à une éqiutUon (le la forme:
dy dx
Soit pour abréger
y(l y«) (1 c'',f) = j^y et yi^T— x') (i — c^x') = Jx,
l'équation (125), à laquelle il s'agit de satisfaire, prendra la fonne
OÙ y est supposé fonction rationnelle de x. Soit
la fonction cherchée. Si, en réduisant ifjx à sa plus simple expression, la variable x y entre élevée jusqu'à la ,a"** puissance inclusivement, nous dirons pour abréger que ipx est une fonction rsitionnelle de x du degré fi. Sa forme générale sera donc
(129) ifjx =
Aq -\- Aix + Atx* + • • • + w4^.f^
le numérateur n'ayant pas de diviseur commun avec le dénominateur, et les
deux coefficiens A^ et B^ n'étant pas nuls à la fois.
Cela posé, si Ton considère x comme fonction de y, l'équation y:=:\f)x donnera pour x^ ^ valeurs, qui seront nécessairement inégales, en supposant y arbitraire. Il est évident que toutes ces valeurs de x satisferont également à l'équation différentielle
dy (Lv
J'y Jx
En désignant donc par x et x' deux d'entre elles, on aura en même temps
dy dx*
j'y ~^ Jx^'
Donc, en égalant ces deux valeurs de - ; > on sîura
dx' dx
Jx' Jx
Une telle relation aura donc toujours lieu entre deux racines quelconques de
l'équation
y = xpx.
Il est facile d'en tirer une équation algébrique entre x* et x. En effet l'intégrale complète de cette équation est en vertu de l'équation (36)
/ 1 *xf\\ ^' xJe -\- eJx
(1^0) x — i,.,Xr« '
e étant une constante. Maintenant x et x' étant tous deux racines de l'équation y=ztpXj on aura
y=ipx, y=\px\ donc
(131) \px'=npx^
et puisque y est variable, cette équation doit nécessairement avoir lieu pour ime valeur quelconque de x. On aura donc immédiatement ce théorème:
Théorhne IX. „Pour qu'une fonction rationnelle y de x^ du degré ^a, puisse satisfaire à. une équation différentielle de la fonne
dy (Le
j'y—'ZÉx'
il faut que cette fonction y reste invariable, en mettant pom- x^ fi valeurs différentes de la forme
xJe-\-eJx 1 — c^e^x*
e étant constant."
Ce théorème nous conduira, comme on va voir, de la manière la plus simple à l'expression générale de y. Il s'agit seulement de déterminer les valeurs convenables de la constante e; car celles-ci étant trouvées, rien n'est plus facile que de déterminer ensuite toutes les autres conditions nécessaires. Occupons-nous d'abord de la recherche de cette constante.
Dêbfirmithaiimi (le tontPs les racines de Vêquatuni. y zz xfKv.
Faisons pour abréger
nous aurons d'après ce que nous venons de voir (131),
(133) \p{ex) = yjx,
où le signe du radical /fx est évidemment arbitraire. Je remarque maintenant que cette équation, ayant lieu pwir une valeur quelconque de x^ subsistera encore en mettant Ox pour x. On aura donc
rfj [0 (Ox) ] = rp (Ox) = ipx.
En metttmt de nouveau Ox au lieu de x et ainsi de suite, on aura
y = tpx = ifj{Ox) = ^p{6^x) =:\p{0^x) := . • . =tp{0''x) = etc.^
oïl l'on a fait pour abréger
e^x=ieex, e^x=ee^x, . . . etc. e''x=ee''-^x.
De là il suit que toutes les quantités de la série
(134) X, Ox^ e^x, . . . d"x, ...
seront des racines de l'équation y = yjx. Maintenant cette équation n'ayant qu'un nombre limité de racines, savoir //, il faut nécessairement que plusieurs des quantités de la série (134) soient égales entre elles. Il s'agit de savoir si cela serait possible. Pour cela il faut d'abord avoir l'expression générale de d'*x en fonction de x et e. Regardons pour le moment e connue variable indépendante. Alors on aura en vertu de l'équation (132),
J(6''a^ J^e^'-Kv) "T" Je
En mettant dans cette équation successivement n — 1 , n — 2 , ... 2, 1 au lieu de Tij et en supposant, ce qui est permis, que les radicaux J^d^'x)^ //(tf"~^-tr) . . . /f{$x)j /tx ont les mêmes signes dans deux équations consécutives, on aura sur le champ
d(B^x) dx j^ de
Cela posé, déterminons d'après les règles du paragraphe 4 du chapitre 1 ime fonction rati(mnelle ^„ de e, telle que
on aiu'a
de.
ile
Je'
die*
rfjr
dfn
Mais si Ton fait
on a
donc
dx' ^ i ^^«
Jx' .Jx ^^ Jen
d(e''x) dx'
Cette dernière équation donne la suivante:
oîi e' est une constante.
Pour déterminer cette constante, faisons e=:0; on aura alors e„ = 0 et //e„=:l. Donc la valeur de x' deviendra: x' = x^ et par suite celle de O'^x sera
^« xJe'-\-e'Jx
Mais ayant dx = Xj on aura encore d"ic = ir, donc
X /âe* + e'Jx
Cette équation devant avoir lieu pour une valeur quelconque de cr, ne
pourra subsister à moins qu'on n'ait séparément ^' = 0, /î/e'=l; donc on
aura
Telle sera l'expression de O^'x pour une valeur quelconque du nombre entier n. Comme on le voit, elle a la forme que doit avoir une racine quelconque de l'équation y = \px.
Cela posé, soient O'^x et O'^'^^'x deux quantités de la série (134), égales entre elles; il en existera toujours d'après la remarque faite plus haut. On aura donc
mais d^+^a: est évidemment la même chose que ^"(^"'a:), donc en mettant x pour d"*a;, il viendra
Une telle équation doit donc toujours avoir lieu, quel que soit x. Si elle a lieu effectivement, il est clair que la série (134) ne contiendra que n termes différens, car, passé d""^cc, les termes se reproduiront dans le même ordre, puisqu'on a 0'^'^^x = Ox^ d'''^^x = 6^x etc. Si l'on suppose, ce qui est permis, que Uj dans l'équation d"x = a:, a la plus petite valeur possible pour la valeur donnée de e, il est clair également que les n quantités
(137) X, ex, e'^x, . . . e'^'x
seront nécessairement différentes entre elles. Car si l'on avait par exemple
il en résulterait 0^*x = x, ce qui est conti-e l'hypothèse, attendu que jti est moindre que n.
Il s'agit donc de satisfaire à l'équation
En y substituant l'expression de ^"a:, donnée par la formule (135), il viendra
i — C^enX^
Or il est impossible de satisfaire à cette équation pour une valeur quelconque de ic, à moins qu'on n'ait séparément les deux équations:
et récipi'oquement, si ces équations sont satisfaites, l'équation O^'x^x le sera également. Or je dis qu'il sera toujours possible de satisfaire à ces deux équations à la fois.
(140) ^6zz= .-,
Je
D'abord si n est impair, les deux quantités «„ et .- seront des fonctions rationnelles de e^ connue nous l'avons vu chapitre I § 4. Si donc on désigne par e une racine quelconque de l'équation
il suffit, pour satisfaire à l'équation //e„ = l, de détenniner le radical Je de telle sorte que
Je
après avoir mis le second membre de cette expression sous la forme d'une fonction rationnelle en e. C'est ce qu'on voit en remarquant que si e„ = 0,
la quantité Je^z=±\{\ — e^)(i — o*e*) ne pourra avoir que l'une des deux valeurs -f- 1 , — 1.
Si au contraire n est un nombre pair, on a vu que Je^ sera inie fonc-
Je tion raiionnelle de e^ de même que \ ^' En désignant (*.ette dernière
par f„, on doit avoir, en vertu des équations (138),
Or je dis que si e est une racine quelconque de cette équation, on aura à la fois fî^ = 0, Je^=i\. En eflFet ayant
