v,« yi
c*fl
on en tire en carrant,
\-el=\-c*el,
et cela donne
car r* est différent de l'unité. Or ayant f^„ = 0 et f„ = 1 , on aura évidemment Je^=\'^ donc etc.
On pourra donc satisfaire à la fois aux deux équations
et l'on aura toujours n^ valeurs différentes et convenables de 6, car en vertu des formules (51, 55) les équations <?^ = 0, ^«=1 seront du degré n} en e. Il s'agit maintenant de choisir les valeurs de e qui rendent toutes les n quantités ir, Ox^ . . . 0''~^x différentes entre elles, car cela est une seconde condition à laquelle doit satisfaire e.
Or pour cela il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient donner d^x = x, oîi fi est moindre que n. On pourra toujours supposer ,a facteur de n. En effet soit h le plus grand commun diviseur de ft et n, on pourra trouver deux nombres entiers /t' et n' tels que
Or réquation^'*x = a3 donne donc
mais en vertu de 0''x=2x^ on a encore
donc enfin
donc, si Of^x = x^ on aura encoi'e 0^x=:^x^ où h est diviseur de n. Donc il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient satisfaire en même temps à ces deux équations
OÙ ,a est un facteur de w; et il faut nécessairement les rejeter toutes, car si Ton a 0^x=-x^ on a nécessairement 0*'x = x.
Ainsi on déterminera aisément une équation en ^, dont toutes les racines donneront des valeurs convenables de cette constante. Si n est un nombre premier impair, on a /t = 1 ; donc la seule racine qu'il faut rejeter de celles de l'équation e„=:0, est celle-ci
On aura donc n* — 1 valeurs convenables de e. Car l'équation e„ = 0 est du degré 7^*.
Il y a mie remarque essentielle à faire sur les quantités
c'est qu'on aura toujours en même temps Eu eHet, ou a (43)
mais e„ = 0, ^e„=l, donc
Ou aura également (42)
donc à cause de e^^ = — c„,, on aura
En substituant ces valeurs de e^„^ ^^n~m dans Téquation
on aura précisément la seconde des équations (142).
Si Ton nmltiplie entre elles les valeurs de O'^x et ô"" '"a:, le produit sera rationnel, et Ton trouvera
On aura de même
Ces formules nous seront utiles dans la suite. D'après ce qui précède, les ^^ quantités
x^ Ox^ d^x^ . . . O'^-^x
sont différentes entre elles, et racines de Téquation y = ipx. Le degré u de cette éciuation est donc égal à w, s'il ne sui^passe pas ce nombre. Nous verrons plus bas qu'il suffira de considérer le cas oîi ^ii = n. On pouira même supposer n premier.
J détermination de tontes letf adears de y qui fyourront répondre atuc mêmes cideurs des raciîieit^
Iwsqnon en œnmitt atie seide.
Pour simplifier la solution du problème général, voyons d'abord si plusieurs valeurs différentes de la fonction y et du module c* pourront répf>ndre aux mêmes racines de l'équation y = ipx. . Kien n'est plus fecile que de dé-
terminer toutes les valeurs de y et c\ En effet, soit ipz= -^ oh p et </
sont des fonctions entières de z sans diviseur commun. En désigiiant par
PRÉCIS D'UNE TUÈOHIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 57?
toutes les racines de l'équation
on aura
p — qyz=z{a — hy)(z — x){z — x'){z — x'') . . . (z — x^""^^),
oîi a et 6 sont des constantes. Soit maintenant y' une autre valeur de y qui répond aux mêmes valeurs de aj, a?', x" . . . , on aura, en désignant par p et q' les valeurs correspondantes des fonctions p &t q^
p' — q'y' = (a' — Vy') (z — x){z — x') {z — x'') . . . {z — x^-'^), donc
p — qy <t — %
p — qy « — f> y
En attribuant à z une valeur constante, il est clair que cette équation donnera pour y' une expression de la forme
où a, /9, a', /?' sont des constantes. En désignant maintenant par c" le module qui répond à y\ on aura en même temps
dy' / dx dy dx
■/(l y'«)(l c"Y«) Ja: J'y ^ Jœ
donc
En substituant l'expression de y' en y, on aura les équations nécessaires pour déterminer y\ c", e\ Ce problème est précisément le même que celui du paragraphe 2. On voit donc qu'une seule solution de l'équation
dy dx
Jy Jx
en donnera sur le champ cinq autres, qui seront en général différentes entre elles. La fonction y aura toujours deux valeurs correspondantes au même
module c', savoir y et —
cy
§ fi.
Solidûm complète du prMènie (luîut le cas où p, zz n.
Supposons maintenant que l'équation y = if;x n'ait d'autres racines que celles-ci :
Xy Oxj B*x^ . . . d*"~^îc,
ce qui arrive toujours lorsque yi est un nombre premier, comme nous le verrons plus bas. On aura aloi's, si p et ^ signifient la même chose qu'au paragraphe précédent,
(147) p — qy = {a — by) {z — x){z — 0x) {z — O^x) . . . (z — O^'-'x).
En attribuant à z une valeur particulière, on aura une expression de y dans laquelle tout est détenniné, excepté trois quantités constantes. Nous allons voir qu'on pourra toujours les déterminer de sorte que l'équation différentielle proposée soit satisfaite. Pour cela considérons deux cas selon que n est un nombre impair ou non.
Cas 1. Si n est un nombre impair. Faisons dans ce cas w=2a-}-l. Alors l'équation (147) donne, eu attribuant à z la valeur particulière zéro,
a' — b'yz=^ — (a — by) x.Ox.O^x . . . O^^^x^ d'où
^ ^ ^ ~ b' + bTx . Bx.B^xTTTB^x '
En remarquant maintenant qu'en vertu de l'équation (143)
1 — cUix^
il est clair que l'expression précédente de y sera une fonction ratioimelle de X du degré 2^-["l; donc, puisque cette fonction reste invariable, en mettant pour X les 2 /i -j- 1 valeurs
X, Bx, O^x . . , e^^Xj
ce qui est évident à cause de $^^'*'^x = x^ on conclura que l'équation (147) a lieu en mettant pour y cette fonction et pour p et q les valeurs correspondantes en z. Cette équation pourra s'écrire comme il suit:
(149) p — qy = {a — by) {z — x) {z — 0x) {z — O^^x) {z — O^x) (z — O^f'-'x) , . .
PBKCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 579
Cela posé, faisons
et désignons les valeurs correspondantes de y par
Comme on a pour ces valeurs de x^ ,dx=-0^ il s'ensuit en vertu des deux équations (142) du paragraphe 4, que
d'où Ton voit que les facteurs, du second membre de l'équation (149) seront égaux deux à deux, en faisant abstraction du premier facteur z — x. On a
p — g« = (a — ha) (1 — z) . p*,
p.^q(i = {a-hp){\-\^z).if'\
i^ — ?/="-(« — */) (1 — C2;). (>"% p-qS = {a-hS){l-^cz).ç"^\
où p, ç\ {f'\ (}'^' seront des fonctions entières de z du degré /ti. Mais puisqu'on doit avoir
les équations précédentes font voir que les quatre constantes a, /9, y, â doivent être les mêmes que celles-ci:
et si cette condition a lieu, les quatre équations (150) en donneront évidemment une de la forme (151), et par suite on aura
(152) -f- = €— , ^ ^ J y Jx
en vertu de ce qu'on a vu dans le paragraphe 1 de ce chapitre.
Comme il suffit de connaître une seule valeur de y^ nous pourrons faire par exemple
Cela posé, il nous reste à satisfaire à ces équations. Or si l'on fait
pour un moment
(154) WX=zX.Ox.e^X . . . e^^X= ,,~. \ Y i^n- sf i\ ?ï 2 n «\ '
l'expression de y deviendra
d'oîi l'on déduira, en remarquant que y( — a;) = — (px, et faisant a:=l, 1 1, 1,
a' + ay(l) a'-ay(l) ^."'-+''y (t) >^'-°y(v)
donc en vertu des équations (153), on aura
Il est impossible de satisfaire à ces équations à moins que Tune des quantités a\ h' ne soit zéro. Faisons donc a' = 0, on aura en même temps 6 = 0. Donc deux des équations précédentes donneront
d'où Ton tire la valeur de c/^ savoir
La valeur de y deviendra
Quant aux valeurs de y (1) et de y > on aura en vertu de l'expression de yj-,
donc
et
^\c j~ c»''+iy(l)
Pour avoir enfin la valeur du coefficient e, il suffit de faire x = 0^ après avoir dîfférentîé Texpression de y. On aura
mais comme on a
il en résulte, en faisant x=0^ donc on pourra faire
D'après ce qui précède on pourra maintenant énoncer le théorème suiyant:
Théorhae X. „Soit e une racine quelconque de l'équation e^^^^-=0^ mais qui ne puisse être racine d'une autre équation de la même forme ^8w+i = 0, oîi 2w-|-l est diviseur de 2fi-^l. Cela posé, si Ton détermine la fonction y^ le module c', et le coefficient f, d'après les formules
ct^-^k x{e^ — x^) {e\ — œ^) {e\ — x^).., (e^ — x^)
Y', {l—c^e^x^){l—c^e\x^){\—c^e\x^)..,(l — c^elx^)
/ ,2^+1 / (1 - e') (1 - ^1) (1 -ji) ^ (1 -^;i)
(1 fl»e») (1 r*e\) (1 — c.*e\) ... (1 — /^*e«) ] '
6 Oq Oq • • • C^.
on aura toujours
en déterminant convenablement le signe du second membre."
Connaissant ainsi un système de valeurs de y, c', «, on en aura cinq autres, d'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, à l'aide des formules du paragraphe 2. A chaque valeur de e répondent donc six systèmes de valeurs de y, c\ s. On aura même douze valeurs de y, car à chaque valeur de c' répondent deux valeurs différentes de cette fonction. Nous reviendrons plus bas à la question du nombre total des solutions qui répondent à la même valeur de ^.
Pour donner un exemple des formules ci-dessus, soit ij.= l. Puisque
dans ce cas 2^t-|-l =3 est un nombre premier, ou pourra, en vertu de xje qu'on a vu plus haut, prendre pour e une racine quelconque de Téquation 63 = 0, excepté la racine zéro. Cette équation est, en vertu de la formule (53), qui donne l'expression de a^, du huitième degré, savoir:
La quantité e étant une racine quelconque de cette équation, on aura
du dœ
Puisque c* est déterminé en c par une équation du quatrième degré, le module, c' pourra l'être également. Cette équation est
{e' — c)* = 4 y^' (1 —fcc' y.
L'expression générale de y, donnée plus haut (156), est sous fonne de produit. Ilien n'est plus facile que de décomposer cette fraction en fractions
partielles. lîn effet, puisque les racines de l'équation
0 = ''^^*z(3«-«»)(2»-e*) . , . (z»-e^*)+.y(l -cVz») ... . (1 - c»«*z«) sont les 2/i-|-l quantités suivantes
X, ex, e^x ... . e^f'x,
la somme de ces quantités sera égale au coefficient de 2*^, divisé par celui de 2*^+* et pris avec le signe — , donc
donc, en vertu de l'équation
on aura l'expression suivante de y:
.---v' / , 2Je,œ j^ 2Je^,,T . . 2Je^,x \ V'c (—1)^+*
('Ao>) y— ^ir-|-. J-— ^-j^^-j- i^.8^|^2 -h ••• • "rîZ~^«^i) ;^y^^ e^êï^^Vf.' Cas II. St n efft un nombre pair. Faisons n=:2fi. Puisqu'on a
1 — c eXx^ 1
1»"' ^ ^ *^ fW
PRÉCIS D'UNK TUÉOKIË DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ' 583
on aura, en faisant m = fij
1 — c^e^x^ 1 — c^e^tX^
Cîette égalité ne peut subsister, à moins que e^ n'ait une des deux valeurs zéro oîi riniini. Cela donne lieu à considérer séparément ces deux cas:
A. Si e^ = ^, on aura
ex
En substituant <?*« au lieu de a:, ou aura
Las racines de l'équation y = ipx deviendront donc
Xj ±^, ex, e^x, . . . e^^-'x, ô^+^x, «^+*x, . . . e^^-'x,
par conséquent on aura
(158) p-qy = {a-by){z-x){z:ç-}-]{z-dx){z-e"'-'x) . . .
ex
En désignant par a et b' les coefficiens de z*^~^ dans les deux fonctious entières ^ et j, on aura
a' — b'y=~{a — bij)ix± -, + ^a; + e^^-'x -\ 1- d/^'x + df^^'x
f, \ / , 1 I 2Je.x . 2Je^x , , 2Je^^ix \
= {by-a) [u;±-^ + -.-,^-,^, + -___,,-| ^.^___^^^ |.
L'expression qu'on en tire poiu* y sera évidemment une fonction rationnelle de x du degré 2i/, et puisqu'elle reste invariable en mettant pour x les 2fi quantités*)
Xm tf X m C7 X» • • t C/ a^!/*
l'équation (158) aura lieu en mettant pour y cette valeur et pour jj et </ les valeurs con'espondantes en z.
Nous allons voir qu'on aura une valeur convenable de y en faisant
*) On a
y— - - — ^ ' - - 'i - --' ' -— et B^f^x-zix.
h* -\-h{x-\-ex+o^X'{ \-e^^'~^x)
Cela doune
expression qui est évidemment de la forme
(159) y = A -^ :r—. ^ V"^ -!- -r^ ^ tuT ^ = A . ifX.
Pour déterminer la valeur de A^ remarquons que si Ton fait x=l, y
doit avoir une des valeurs: ±1, ± -r* Soit par exemple y=l, pour x=\^ on aura
Cela posé, faisons dans l'équation (158) x=l. En remarquant que a = 0, on aura
q — p = {l — z){l:^cz)if\
ç étant une fonction entière de z, car pour x=l on aura
l — c^el
En changeant le signe de z dans l'équation précédente, on aura, en remarquant que q est une fonction paire et p une fonction impaire,
Cela donne
2» -/>» = (]- 3=-) (l-cV)(p(.')*- Maintenant, puisqu'on doit avoir
cela fait voir que la fonction q^ — g'^P* doit être un carré parfait. Or ou pourra toujours détemiiner c' de manière que cette condition soit remplie. Faisons dans l'équation (158)
on aura donc
Si donc on désigne par a la valeur de y qui répond k x=^ ~i=-^~ ' ^^^ racines de 1 équation a = ^x, c'est-à-dire de
seront égales entre elles deux à deux ; donc p — aq sera un carré parfait. En changeant le signe de z, on aura p-\-ctq^ qui par conséquent sera également un carré; donc en multipliant, on aura
où t est une fonction entière de z. En faisant donc
réquation (161) aura lieu, et par suite on aura
dv dz s p
-77— = €-7-? ou -=zv.
J V Jz q '
c'est-à-dire, en changeant 2 en ce
du dx
Pour déterminer le coefficient e on aura d'abord, en vertti de la dernière équation,
du ^
e = -j— î pour ic = 0.
Mais l'expression de y donnera
donc
Le numérateur de la fraction qui exprime la valeur de rj est décomposé
p' en facteurs; savoir si Ton fait ?^ = ^, on a
p^ = 1 x{l — c'e^x^) (1 — c^eW) ... (1 — c^el^^x').
On pourra facilenient décomposer de la même manière le dénominateur ç*^, comme on va le voir.
En divisant les membres de la fonnule (147) par ?/, il viendra à cause
de a = 0:
^ —q= — b{z — x){z — dx){z — e'x) . . . (z — e'^-'x).
Cela posé, soit â une valeur de x, qui rende y infini, c'est-à-dire une des racines de Téquation ^^' = 0. On aura
q=b{z — â){z — eâ){z—e'â) . . . (z — d'^'â).
Il suffit donc de connaître une valeur de â. Or une telle valeur est - •
En eifet, puisqu'on doit avoir 2/ = ^, et remarquant que
Soit pour une valeur quelconque de x
on aura évidemment, en remarquant que d^^x = Xy
Or je dis que si l'on fait
on aura
Pm = 0,
pour une valeur quelconque de m. En effet on a d'abord
' 1 — c^ela^
donc en mettant d^x au lieu de x, et remarquant que 0f*x = ± — ?
En faisant maintenant
on aura et par suite
On pourra donc faire
En remarquant que g' == 1 pour ic = 0, on aura, en mettant dans l'expression de gr, X au lieu de ^,
D'après ce qui précède on pourra énoncer ce théorème:
TTiéorème XL „Soit e une racine quelconque de Téquation e^ = ^ , mais qui ne satisfait pas en même- temps à deux équations de la forme»e^ = 0, Je„=:lj oïl m est facteur de 2, a. Cela posé, si l'on détermine les trois quantités y^ c\ e par les formules
on aura toujours
V(i— y«)(l— c'VJ ~ V(,i—^^i—c^' Le cas le pFis simple de cette foiiniile est celui oh /i = 1 . On aura
alors
Après avoir déterminé par le théorème précédent un système de valeurs pom; y, c\ 6, on aura cinq autres solutions à l'aide des formules du deuxième paragraphe de ce chapitre.
B. Si e^ = 0, le radical /1e^ ne pourra avoir que Tune des deux valeurs -|- 1 ou — 1; mais il faut ici prendre ^e^ = — 1, car si Ton avait en même temps e^=0, ^6^=1, il en résulterait 0^x=:x^ ce qui n'est pas.
Mais comme on a
588 PRÉCIS D'UNK TIIËOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
cela donne
'rr —
et en mettant
au
lieu
de X,
Les racines de réqiiation y = tpx seront dans ce cas égales deux à deux, mais de signe contraire, et par conséquent xpx sera une fonction paire de x. En faisant
on aura
(164) p — qy.= {a — hy) (^« — x^) [^* - {Oxy] [z^ — {O^xY] . . . [z* — {e^-'xY].
Si l'on fait 2 = 0, et qu'on désigne les valeurs correspondantes de p et 2 par a' et h\ on aura
a' — b'y = ±{a~by){x.ex.e^x . . . e^'x)%
ce qui donne pour y une expression rationnelle du degré 2, a. Comme dans les deux premiers cas, on démontrera aisément qu'il sera toujours possible de déterminer les constantes a, i, a\ V de telle sorte que l'équation
dy dx
J'y Jx
soit satisfaite, en atti'ibuant au modula c' et au coefficient f des valeurs
convenables. Je vais considérer seulement le cas le plus simple, oh ii = l.
On aura alors
a' — h'y = {—a^hy)x^,
et par suite
En mettant cette valeur dans Téquation
dy dx
J y Jx
on trouvera facilement une solution, savoir
Connaissant ainsi une solution, on en déduira les cinq autres par les formules du deuxième paragraphe, de sorte que Véquation
dy dx
d'y Jx
pouVra être satisfaite des six manières suivantes:
^ ^ .1+^ 1 + Vl— c» cqpVc^ — 1
Iiéducif(yn du problème général au cas où le degré de In fonction raiminelle y est un
nombre 'premier.
Soit maintenant y=zipx une fonction rationnelle quelconque qui satisfait à l'équation différentielle
dy dx
J'y Jx
Comme on l'a vu dans le paragraphe 3, Téquation
y = yjx aura toujours n racines de la forme
(167) X, Ox^ e^x, . . . e^'-^x, où e''x=x.
Cela posé, désignons par ce' une nouvelle racine, différente de celles-ci, de sorte que
ifjx' = xpx = y.
On a
yj{0'^x)=::yjXj
donc aussi
rp{d'^x')=y;x' = y.
Il suit de là que les n quantités
(168) x\ ex\ e^x\ . . . e^^x\
qui sont différentes entre elles, seront racines de l'équation dont il s'agit. Or toutes ces n racines sont différentes des racines (167). En effet, si l'on avait O'^x' =:Of^x^ il en résulterait '
c'est-à-dire
ce (jui est contre l'liyiK)thèse. Le degré n de l'équation y=:yfx est donc
égal à 2n, ou plus gi-and que ce nombre. Dans le dernier cas, si l'on désigne par x" une racine différente des 2w racines précédentes, on aura en même temps celles-ci:
qui seront différentes entre elles et des racines (167, 168). Donc // sera égal à 3w ou plus grand que ce nombre. En continuant jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les racines, on voit que ^ doit être un nmltiple de r?, et si l'on fait en conséquence
les /i racines se distribueront en m groupes de n tenues chacun, savoir
a:, dx^ e^x . . . d"-*ir,
x\ dx' ew . . . e^'-w,
Cela posé, soit
x^™-^), ex^""-'', e'x^'^''^ . . . «"-*a;^"-*>.
wz = - î
p et q étant des fonctions entières de 2, sans diviseur commun. On aura
(170) p — qyz=z{a — hy) {z — x){z — Ox) {z — O^x) . . . {z — O^'-'x)
X{z — x'){z — ex'){z — e'x') . . . (2 — «-V)
X{z — a;^"-'>) {z — «ir^"-'>) {z — «^a:^"-^^>) -- -{z — «»-^a:<— ^>) ,
et d'après ce qui a été exposé dans le paragraphe précédent, on pourra trouver une fonction rationnelle, y^=z\fj^x^ telle que les racines de l'équation
soient les n quantités
ic, dx^ ê^x^ . . . d"-^a:,
et que i/i satisfasse à une équation différentielle de la fonue
(ni) ^yi ^e ^ ^ ^
^ ^ ^ Va-y\)(i-c*y\) V(i - :r») (1 «".r»)
Faisons
y et g[' étant des fonctions entières du degré n\ on aura (172) p' - cly, = {a' - h'y,) {z -x){z- Ox) ...{z- d^-'x),
a' &t V étant des constantes.
En mettant au lieu de x successivement les m valeurs
•«/• .C/ • WL/ a • • • »Aj
et puis multipliant entre elles les équations qui en résultent, on obtiendra, en ayant égard. à l'équation (170),
(173) p— gy p — gyi j' —gy^ . . . 'P—^y^^
^ ^ a — />y al — l/y^ a' — h'y^ a' — b'yj
OÙ
Vu llzi • • • y m
sont les valeurs de la fonction y^, qui répondent aux valeurs
de ic. *
Cela posé, attribuons à x deux valeurs particulières a, ^, telles que
en désignant par
«1 , «2 , . . . a„ , Pi , />2 , . . . p^
les valeurs de r/i, t/j,, . . . y», respectivement correspondantes aux valeurs a et /5 de a:, Téquation (173) donnera
où A' et 4'' sont deux constantes. En divisant p par ç, on voit que ^ = wz sera fonction rationnelle de -,= w.z. En mettant a; au lieu de 2, on aura
donc
n 7 f;\ ,1— a (^1 ~ ^i) (^1 ~ ^8) (yi— ^3) . iiCyiji: ««)
A' A = -j^ étant constant.
On voit donc que y pourra être exprimé par une fonction rationnelle de yi du degré m.
592 PUÉCIH I)*UM£ TUÉOKIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
Eu combinant maintenant Téquation (171) avec celle-ci:
(hf (Le
qui doit avoir lieu, on aura
Y{l-y*){\-c'*y*) h V(l-3/;)"(l-cîyî)'
donc la fonction y, rationnelle en y^ et du degré m^ doit satisfaire à cette équation. Kéciproquement, si cette équation a lieu, l'équation
dy diC
J'y =' Jx
subsistera également, car la fonction y^ est détenninée en x de manière à satisfaire à la formule (171). Ainsi le problème général est réduit à satisfaire de la manière la plus générale- à Téquation (176). Or ce problème est précisément le même que celui que nous traitons; seulement le degré de la fonction y en y^ sera m^ tandis que y, comme fonction de x^ est du degré w.w, qui est plus grand que m. On pourra donc appliquer à l'équa-
tion (176) le même procédé qu'à l'équation -p=:€--.~i et il est évident
qu'on parviendra ainsi à l'expression générale de y, car les degrés des fonctions successives vont toujours en décroissant
Supposons maintenant que le degré ^ de la fonction y en x soit un nombre premier. Puisque fi = m.nj on a nécessairement wi=l, fi = ?i. Par suite
yi — «
On connaît l'expression de y^ en x par les formulées du paragraphe précédent. En substituant l'expression de y en yi dans l'équation (176), on déterminera à l'aide des fommles du paragraphe 2 toutes les solutions possibles.
En vertu de ce qui précède on pourra donc énoncer le théorème suivant :
Théorème XII. Soit y une fonction rationnelle de x d'un degré quelconque ^i, qui satisfait à l'équation différentielle
du (Lu
on pourra toujours décomposer jll en deux facteurs n et m, dont l'un n est un nombre premier, tels qu'on ait
PRÉCIS D'UNE TH£0K1£ DES FONCTIONS ELLlPTlijUES. 593
dy^ dx
et
V(i-7^)(i-/v) «1 V(r-e/î)(i-6.îy"î)'
?/ étant une fonction rationnelle de y^ du degré vi^ et ^/i une fonction rationnelle de X du degré n.
Si donc on désigne par n^ n^^ n^^ . . . Uy des nombres premiers dont le produit est fi^ et qu'on fasse pour abréger
on pourra faire
ày dyy dy^^x ^ <^;yi^ ^.^•
^1 étant une fonction rationnelle de x du degré n^
En vertu de ce théorème la solution du problème général est ramenée au cas oh le degré de la fonction y est un nombre premier. On aura toutes les solutions qui répondent à ce cas par les formules du paragraphe précédent, et ainsi le problème que nous nous fournies proposé au conmiencement de ce chapitre pourra être regardé comme résolu.
Sur la forme de la fmdion y, ♦
Désignons par ic, x^ x" . . . x^^~^^ les racines de Téquation
.y = fx.
Si Ton fait tpz=^ — ^petq étant des fonctions entières de 2, on aura
(177) • p — qy = {a — by){z — x){z — x'){z — x'')...{z — x"^'%
594 PKËCX8 D*UN£ TUKOUIË D£S FONCTIONS £LL1PTIQUK8.
a et h étant des constantes. Cela posé, soit a une racine de lequatioii y = 0, on aura en faisant x=:a,
Soit de même (3 une racine de Téquation y = ^ . Cela donnera, en faisant x = (3 après avoir divisé les deux membres de l'équation (177) par y,
(179) q = b{z-i3){z-.i3')(z-/3'') . . . (2-/î(^^>). Ces valeiu^ de j^ 6* 2 donneront, en mettant x au lieu de z,
OÙ Jl est un coefficient constant, qu'on détermine en remarquant que si l'on
fait x=lj y doit avoir une des valeurs ± 1 , ± -7 •
Mais il y a deux cas à considérer séparément: savoir, il pourra arriver que l'une des deux quantités a et & soit égale à zéro, et dans ce cas l'une des racines des équations y=Oj y= ^ sera imlle ou infinie.
Cds premterj si b = 0. On aura
(181) p — qy = a{z — x) {z — x') . : . (2 — x^-'>),
et p sera du degré ^, et q seulement du degré jti — 1. En égalant le coefficient de z^"^ dans les deux membres, on aura
a' et b' étant des constantes. Maintenant si
, xJe'\-eJx
est une racine de y == i/zx, la quantité
xJe — e Jx
le sera également; donc si ces deux quantités sont différentes entre elles
pour toutes les valeurs de e, ^ sera un nombre impair, et en faisant ^ = 27i-j-l, on aura
/ioo\ / L/ / I 2^z/«. , 2^z/ej , , "ixJe^ \
(183) a -&y = -«[^+i,«,.',,+i^-,»7l^+ • • • +T^.lï^)- Maintenant si l'on fait a; = ± 1 , ± — , on doit avoir y=±l, y = ±-^,
d'où il est facile de conclure que a' sera égal à zéro. Donc y sera une fonction impaire de x, et de la forme
Cela fait voir que
(l = {\ — c^'e\z') . . . (X — c'elz').
Pour avoir p^ il suffit de faire dans l'équation (181) ir=:0, ce qui donne
^ = «2(2* — ej) . . . (2' — eH), donc on aura {\^T.\ «/ sc{e\ — ^^)(ga x),.,{e\ x^)
Telle est donc la forme de la fonction y dans le cas où le degré de son numérateur est impair et plus grand que celui du dénominateur. Si pour quelque valeur de e les deux quantités
xJe-^eJx Xjde — eJx 1 — c^e^x^ 1 — c^e^x^
étaient égales, on aurait
e = Oy ou e = ^.
Soit d'abord e = ^, on aura a;' = ±-~? et par suite le second membre de
ex
l'équation (182) serait une fonction impaire de x, dont le degré serait un nombre pair. On trouve que cela donne a' = 0; donc en faisant ^=27?,
et par suite y sera exprimé en produit de facteurs comme il suit:
n87^ »- aO—à\œ*){\-ô%x*)...{l-dU*)
y^iot) i>~'x{\—c*e\x''){i—c*e\x'>) . . . (1— c^e*.,*") '
Si au contraire e = 0, on aura en même temps
•C — — ~~ iC.
Donc dans ce cas y sera une fonction paire de x. Mais alors le degré du numérateur doit être le même que celui du dénominateur, comme il est facile de s'en convaincre; par conséquent l'expression (187) appartient à y toutes les fois que le degré du numérateur est un nombre pair et en même
temps plus grand que celui du dénominateur.
Cas second^ si a = 0. On aura alors
En raisonnant comme ci-dessus on trouvera aisément que dans le cas où fi est un nombre impair, y sera une fonction impaire de x de la foniie
Si fi est pair, ;/ sera xme fonction impaire de x de la forme
. , .r(l — ^Vf .r») . . . (l —r«« «,.,,•«)
^^^^} y - "" - ^T^âî .,•=') ... (1 - d«.r^) ■
De* la fonction x^^i^i.
Nous ayons vu (chapitre I paragraphe 4) que Tequation différentielle
peut être satisfaite, en mettant pour y une fonction impaire de x du degré {2fi-\-\y qui s'évanouit avec x. En la désignant comme nous l'avons fait à l'endroit cité par iCj^t+i, et faisant pour abréger (2//-|-l)* — 1 = 2/1, cette fonction, en vertu de ce que nous venons de voir dans le paragraphe précédent, doit avoir la forme suivante:
y ^i/; ^2^+1 — a ^j ^,^,^^2^ ^j —c'^elœ^) ... (1 - - c^el\r>) '
et on aura en même temps
c*«rt.r*
Pour détenniner les coefficiens a et A. faisons a:=:4. On trouvera alors Si l'on fait x infiniment petit, la première formule donne
mais l'équation différentielle donne dans ce cas par suite
De même si Von fait x infiniment grand, la seconde expression de x^^^i donne X2^^i=^Ax^ mais dans le même cas l'équation différentielle donne
'%tl3=^=(2,«+l)'^-^ donc
Connaissant A^ on aura ensuite
(193) e\e\...el= -^±- , a = o» = 6'"*+*".
Les quantités ^i,. ^2, . . . c„ ont entre elles des relations remarquables que nous allons développer. Considérons Téquation
Les racines de cette équation sont les (2^t-[- 1)* q^ai^tités
X Jei + ei Jx X Je^ + e^ Jx x Je^ + e^ ^x
Soit Ox=^~ — %-ï % Tune quelconque de ces racines, les 2fi-\-\ quantités
