X. '~~~ CSX
X, Ox, e^x . . . e^^x
seront encore des racines et différentes entre elles, si Von prend pour e une quantité qui n'est pas racine d'une équation
Oïl 2m-\-l est facteur de 2f^-\-l. Soit de même une autre racine, on aura encore les racines suivantes:
\J\Xm \J \X m • • • Cr I X^
qui seront différentes entre elles.
Cela posé, faisons
on aura en général
quels que soient les nombres entiers m et k. En mettant O'^x pour x^ on aura
y^(e\e^x)=xp{e'-x)=x,^^,',
donc toute quantité de la forme
eXB'^x
sera racine de Féquation y = tpx. Je dis maintenant que si Ton attiîbue à fc et m toutes les valeurs entières moindres que-2ju-|-l, les valeurs qui en résultent pour la fonction dîd*cc, seront toutes différentes entré elles. En effet, si Ton avait
il en résulterait, en mettant 0*^^^~'^'x pour x et remarquant que 6^'*^^x=Xj
eid^'x = 0\'x,
en posant w' = m-j-2ju-j- 1 — m\ Cela donne
en posant fc" = 2/i -|- 1 — fc -|- k\ c'est-à-dire
et par suite
Maintenant, puisque 2u-\-l est un nombre premier, on pourra faire
fcV = (2^ + l)/î+l,
c'est-à-dire que O^x serait une des quantités
x, ex, . . . e^^x,
ce qui est contre l'hypothèse.
L'expression O^d^^x a donc (2,t/ -|- 1)* valeurs différentes et par conséquent ces valeurs seront les racines de l'équation
Soit maintenant
x'=e\x, x''=e\eTx, x'''=e''x.
On aura, en regardant p et e' comme variables,
ilœ' f/.r j , de'
Jœ' ~^j- '^ Je''
PRÉCIS D'UNK TU£OiU£ DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 599
En mettant dans la première fommle x"' au lieu de x, x' se changera en x" ^ donc
dx" d^ \-L^i
donc
et si Ton fait
(Ix" dx , 7 de' , lie
Jx' Jx • -7e ' Je
, (ié?' <^€fr' (fe de.
Je' Jeu Je Je^ '
dx" dx 1 defe' i^ de„
'j7''~~Jx~'^^/ëi/"^jëi^'
Si donc on fait
on aura
Jx'* Jx ' -ii^a,^*
d'oïl, en supposant que e^ et ej,' s'évanouissent avec e et e\
Toutes les racines de Téquation y^nx^^^^i pourront donc être représentées par cette même formule.
Donc pour connaître toutes les racines, il suffit d'avoir la valeur des deux quantités e et e\ qui sont deux racines de l'équation
Toutes les racines de cette équation
lesquelles, par ce qui précède, sont les (2^-]~l)* quantités
sont donc exprimées par la fommle
en donnant à m et fc toutes les valeurs moindres que 2,u-[-l. Il est facile de voir qu'on pourra exprimer e^ ^ en fonction rationnelle des deux quanti-
600 FKÉCI8 D UNE TU£OHl£ DKS FONCTIONS ELLIPTIQUES.
tés e, e'; donc on voit que toutes les racines de l'équation X2^^.i = (), pourl'ont s'exprimer rationnel lenient par deux d'entre elles et par le module c.
Si l'on veut exprimer a^^^+i à l'aide des fonctions O^x et Ox^ liii jxniri'a le faire d'une manière fort simple. En effet, en remarquant que le dernier terme d'une équation est le produit de toutes ses racines, on am'a sur le champ (190) ur,^^, = c'^'+«A* . X . ex . O'x . . . e'^x
xe,x.e^ex.e,e^x . . . e^e^^x Ae\x,e\ex,d\d^x . . . eie^^^x
xoi^x.ei^Ox.ei^e'x . . . o'/e'^x.
On a aussi
JJe têqtuition 4r^^+i = 0,
D'après ce qui précède les racines de l'équation u:g^+i = 0 sont exprimées P^i' ^m,k 6ii donnant à m et fc toutes les valeurs moindres que 2^-j-l- Une de ces valeurs est zéro, savoir ^oo-
En divisant le numérateur de la fi'action ir^^+i par a:, on aura, en galant le quotient à zéro, une équation
du degré 4/i*-j-4^, Je dis que cette équation peut être résolue à l'aide d'équations du degré 2,a-|-2 et du degré 2/i.
Soit p une fonction quelconque symétrique et rationnelle des quantités ^i, e^, . . . ej^^i En mettant pour ^a, ^3, . . . e^^ lem-s expressions en fonction rationnelle de ^i^, p deviendra de même une fonction rationnelle de cette racine. Faisons
(199) . p = (pe,, on aura évidenmient
(200) (pe^ = (pe^ = (pe^= • • • =^(pe^^^ .
équations qui am'ont lieu quelle que soit la racine e. Cela posé, mettons e^^^ au lieu de e, il est clair que
se changeront respectivement en Donc on aura
(201) y««,i = ye,^,2= • • • = w«>2;*.
Formons l'équation
2o5 îi? • • • Qtft+1 seront des fonctions symétriques et ratioimelles de yej, <P^o,i5 . . • <P^2u,i' Or on pourra les exprimer rationnellement en c. En eifet, il suffit d'avoir la valeur de
(203) (ye,)*}(yeo,0*H |-(<^Vi)* = P*-
En vertu des équations (200, 201) cette quantité poun-a s'écrire comme il suit :
+ (<^«o,i)* + (<SP«o,î)* + (<^«o,3)* + — l-(y«o,v)'
Or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation P=zO] donc on pourra exprimer ç^^ rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire par c.
On voit donc que les coefficiens de l'équation (202), ^o? în îa^ • • • seront des fonctions rationnelles de c. Donc une fonction symétrique quelconque des racines
^1 , ôg , 63 , . . . e^^
pourra se déterminer par le module c, à l'aide d'une équation du degré 2fi-\-2. Cela posé, faisons
(204) {e — ej) {e — e^)...{e — e,J =
Les coefficiens Po^ Pit p%, • • • Pfi-i seront des fonctions rationnelles et symétriques de ^1, «2, . . . ^2^; donc, comme nous venons de le voir, on pourra
PKEC18 D'UNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
les déteniiiner à Taide d'équations du degré 2fi-^2. Aînsi, pour avoir les racines de Téquation P=Oj il suffira de résoudre des équations du degré 2,a et 2^-|-2.
Ce qui précède est susceptible d'une application importante. Le module c', exprimé par la formule (156), est, comme on le voit, une fonction rationnelle et symétrique de e, f»,, Cg, . . . e^^. Donc, en vertu de la propriété démontrée précédemment, on pourra déterminer le module c' en c à l'aide d'une équation du degré 2/i-[~2. Cette équation ne paraît guère résoluble algébriquement, excepté lorsque 2/i-|-l=3. Dans ce cas elle sera du quatrième degré.
En appliquant le théorème XII à l'équation
on aura, en remarquant que le degré de la fonction Xg^+i est (2/i -|- 1)*, et 2^-j-l un nombre premier,
y étant une fonction de x du degré 2jU-|-l, et Xg^+i une fonction de y du même degré. On aura
et
y(,'«y>)(,'|y2)...(e'«yî)
''"^^ ~ V~c (1 - ^'*^' V*) (1 - ^'*e'îy«) ... (1 - c'*€' «y«)
l — e% ^* 1 - Ce*
e' est déterminé de la même manière en c/ que e l'est en c. Donc si l'on change c en c', e se changera en e'. De là il suit que l'équation entre les modules c' et c doit rester la même si l'on change simultanément c en c et c' en c.
Puisque c' dépend d'une équation du degré 2/i-j-2, on pourra donner à la fonction y, 2^-j-2 valeurs différentes.
PBÉCIS D'UNE THÉOBIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 603
Des transformatioîis différentes qui réponderU à un même degré de la fonctiofi y, ^
Soit
■A,+AiX + A^x*-\ VA^xt"
y B^-\-'B^x-\-B^x*-{ \-Bf,xf'
et
Supposons /i premier et d'abord /^=1. Dans ce cas le module c\ en vertu des formules du paragraphe 2, aura six valeurs différentes, et la fonction y en aura douze.
Si ^ = 2, on aura toutes les solutions possibles en combinant les deux formules (163, 165) avec les six formules du paragraphe 2, ce qui donne 18 valeurs différentes du module c\
Si Ton fait
ces 18 valeurs s'obtiendront en mettant dans les six fonctions
les trois quantités c^, Cj, Cg au lieu de c.
Si fi est un nombre premier impair 2w-|-l, on aura d'abord 2n-\-2 valeurs du module c' qui répondent à la forme suivante de y:
y~ y7 (1 — c*«*A-*) (1 — c'elx*) ... (1 — c'eja;*) *
Or dé chaque valeur de y de cette forme on déduit, en vertu des six formules du paragraphe 2, cinq autres valeurs de la forme:
cy
l + Vc' l±yVC 1—Ve' l±yVc' l — V^^' l±yV—c'
' l — Vc' l+yVc' l-fVc' 1+yVë' 1-1- y— «' 1+yV-c'
1 + V^^ l+yV—e'
i y:=c'*i+yy-c''
auxquelles répondent respectivement les modules:
1 /i— y?\«^ ll+^Zy, (liJ^T, i^—y—^' 1-f vV) ' il — Vc'/ ' il— y— c'/ ' li + v— c'
On aura donc an tout 6(2n-[-2) = 6(/i-}- 1) valeurs différentes ixmr le module c\ On en aura un nombre double pour la fonction y.
Résolution de l'équation y^ziffx.
L'équation algébrique i/ = yjXj oh tpx est une fonction raiionnelle quelconque de x^ satisfaisant à une équation différentielle de la forme (205), jouira de la propriété remarquable d'être résoluble par rapport à x à Taide de radicaux. C'est ce qu'il est facile de démontrer à l'aide de la forme des racines de cette équation. D'abord si le degi-é /e est un nombre composé = n . nj . 7^J . . . Wy , on pourra faire comme nous venons de le voir dans le § 7:
^yj ^y-ij • • • V^M V' désignant des fonctions rationnelles respectivement des degrés w^, ^y-i? . . . nj, w, ces derniers nombres étant premiei^s. On aura donc la valeur de x en y k l'aide de la résolution de y -}- 1 équations des degrés n^ n^^ . . . n^ respectivement. Il suffit donc de résoudre l'équation y = ipx dans le cas oh le degré fi est un nombre premier. 8i fi = 2j on aura l'expression de x par les règles connues. Soit donc fi impair =2|f-|-l. A lors les racines de l'équation y=z\f;x seront les 2fi-\-l quantités
X, Ox^ e^x . . . e^^x.
Cela posé, soit (f une racine imaginairQ de l'équation et faisons
v'=x-\-â.e'''x^â\e'^-'x-^ . . . j\^â''\dx.
En substituant pour les quantités ô'^x leurs valeurs
et remarquant que
