Supposons a ^ 0 alors on a
1 /.oo /,0J(1— I3)
(6) ..... . Wa) = ^v.p./ 3-^,-d
On établira cette formule en montrant d'abord que pour a > 0 la dérivée de l'expression au second membre est e"^, et ensuite que cette expression devient infiniment petite en même temps que a. Pour abréger nous omettons cette démonstration.
Il est évident d'ailleurs que cette formule suppose bien a^O, car la fonction q> (a) est impaire. Si l'on considère les valeurs imaginaires,
on trouve que a doit être de la forme r e"P avec /•>Oet — 7<93< +
En employant maintenant l'identité
on a évidemment
^2fcpa2(i-i2) j^ — 1 .3... (2 A: 1)^
On retrouve ainsi le développement (1) mais avec cette nouvelle expression du terme complémentaire
1 /-oo /v.2n
En partant de cette formule on peut , après avoir posé (8) a2 = w + j?
développer R„ suivant les puissances descendantes de w, et l'on obtient
(9) nn= ^
Po + ?^ + ?i+--
où Pq, Pj, P2, ... sont des polynômes en rj, Fk étant du degré 2k-\-l
,Po = .+ 6,
Ce développement est divergent mais nous avons dit déjà quel sens précis il faut y attacher.
Pour la manière d'obtenir ce développement , nous devons renvoyer à une thèse présentée à la Faculté des sciences de Paris , insérée dans les Annales scientifiques de l'École Normale (3»»™o Série, Tome 3, 1886, p. 201—258).
On conclut de ce développement que R„ s'évanouit pour une valeur finie de ij, dont on trouve le développement suivant les puissances descendantes de n égal à
et comme nous avons posé a^ = w -f- »? > il en résulte
C'est précisément le développement qu'il fallait obtenir.
6. En considérant, ainsi que nous l'avons fait, la quantité a^^ comme racine de l'équation transcendante
^ — 2e«»(i-^>dx = 0 1 — X
la restriction que n soit un nombre entier, devient inutile et l'on définit
NOTE SUR UN DÉVELOPPEMENT d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE. 65
ainsi une fonction continue de n. Il est certain aussi que le développe ment obtenu donne une valeur fort approchée de cette fonction a^ dès que n est un peu grand , sans être nécessairement entier.
Si l'on regarde, au contraire, la manière dont nous avons défini originairement la quantité a„, on voit d'abord que l'équation (3) n'a un sens que lorsque n est entier II n'est pas possible d'étendre cette définition à d'autres valeurs En regardant au contraire o^ comme la racine positive de l'équation (4)
on peut bien supposer n variable d'une manière continue, mais la fonction «^ qu'on définit ainsi, devient discontinue lorsque la variable est égale à la moitié d'un nombre impair. Il nous semble que ces circonstances rendent à peu près impossible la déduction du développement (5) en partant directement des équations transcendantes (3) ou (4).
