Une intégration par parties donne

= Ti + T2 + ... + T„ + R„,

«1 , tto , . . . , a» étant certaines constantes positives parfaitement déterminées. En effet, les fonctions qui figurent aux deux membres de (2) ont même dérivée. Ces deux fonctions seront donc identiques lorsqu'on pourra déterminer a„ de manière qu'elles soient égales pour une valeur particulière de a. Or si l'on prend a positif mais assez petit pour que

-L 4. JL J 4- 1-3 ■••(2m — 3)

il est clair que la formule (2) détermine une valeur unique de a„ qui sera supérieure à cette valeur particulière de a.

Ces constantes a^, a^, ■■■, Un vont toujours en augmentant, c'est ce qu'on voit en posant a^Un + i dans la relation

j''x-^n,.^ax = ^^,- + ^-^fx-^~"-^e^d

3. Il est clair que si les constantes a^ , a^, . . . étaient connues , rien ne s'opposerait plus à un usage légitime du développement (1). Car supposons que a tombe entre a„i et a», alors on aura évidemment

q,{a)>T, + T^ + ... + Tn-u 9>(a)<Ti + T,, + ... + T„i + T„,

et on aura renfermé gs (a) entre deux limites dont la différence est T„. Il résulte de ce que nous trouverons plus tard que T„ est précisément le plus petit terme de la série Tj -f" T2 + • • • ou le terme qui précède ce plus petit terme et qui en diffère très peu.

La détermination des constantes a^, Og, •.. est donc le problème principal qui doit nous occuper.

4. Il est évident d'abord que a„ est la racine positive de l'équation transcendante

cp (a) = e<^

n yy 2n — 1

mais il nous semble à peu près impossible de tirer de là des expressions qui pourraient nous être utiles.

On peut mettre cette équation sous une autre forme plus avantageuse. Remarquons pour cela qu'en développant les deux membres de (2) suivant les puissances croissantes de a, on ne rencontre point de terme sans a dans le premier membre. Il doit en être de même dans le second membre , ce qui montre que On est une racine de l'équation transcendante

En multipliant par a^""^ et en posant o^ = t^ a^ sera donc une racine positive de

Cette équation admet évidemment une seule racine positive, on montre aussi facilement que le premier membre est négatif pour <=w, donc

al<n.

Mais l'équation (4), pas plus que l'équation (3), ne semble nous pouvoir conduire à ce résultat que a^ est susceptible d'un développement suivant les puissances descendantes de n

Ce développement , quoique divergent , n'en permet pas moins de calculer les an avec une grande approximation comme on le voit par ces quelques valeurs :

n o^ d'après (5) erreur

Déjà pour « = 3 l'erreur n'atteint plus une unité du cinquième ordre, et on peut considérer que notre but sera atteint , dès que nous aurons établi le développement (5).

Mais cela nous a été impossible en partant des expressions analytiques que nous avons développées jusqu'ici, et nous avons dû suivre une autre voie. C'est précisément la valeur principale d'une certaine intégrale définie qui se présente ici, et il nous semble que, dans cette occasion , on pourrait difficilement atteindre le but d'une autre manière.