On a

q^) = Qo(2)Qi(e) ~ Qi(2-Q2(e) + • • • + Qn~i{z)Q J^) '

et , en développant suivant les puissances descendantes de z les termes du second membre :

Qo{«)Qi(«) z

■Qi(2)Q2(«)~ ;ï2 -^- ^ 24-1-^1

1 4 , ei

En ajoutant les n premières séries , on obtient le développement de q" \ s • Or , si l'on remarque que

Qln-l{s)Q.n{s) = Cz{z + Xj){z -{- X^) . . .{Z + Xn-l),

où c, x^, X2, . . . , Xn-ï sont des nombres positifs, on voit facilement que tous les coefficients e^ sont positifs, et l'on en conclut que, dans le développement (1) de

Qn(«)'

les n premiers coefficients Cq, q, . . . , c„i sont positifs, et que les coefficients suivants a", a"^i, a^^gi ••• sont plus petits que Cn, Cn+i, Cn+2, ... respectivement.

On peut obtenir le développement d'une réduite en la décomposant d'abord en fractions simples. Posons, comme au n° 3,

P2n(z) Ml . M2 . , M

Q&n(z) Z -\- Xy^ Z -{- X^ ^"' ^ Z-{-Xn

on en conclura

Ck=^MiX^ [ft = 0, l,2,...{2n-l)].

Ensuite , en considérant une réduite d'ordre impair

P2n + 1 (Z) No , Ni , N2 , , Nn ^

Q2n+i(«) « '''a + a;i ' 2 + iCa ^* ^« + ^»'

d'où

CA = ^N.a;f (A = 0,l,2, . . ,2w)(a;o^O),

ces expressions donnent lieu à la conséquence suivante : La forme quadratique

zl Z-^Cp + ' + ftX.-Xfc 0 0

est une forme définie et positive, en sorte que le déterminant

Cp '^P + l ^P+2 • • • Cp^m — 1

Cp + 1 Cp4-2 Cp-i-3 ... Cp-fm

Cp + m — 1 Cp-[-2m — 2

est positif.

En effet, si nous prenons un nombre n tel que

il est clair que la forme quadratique considérée peut s'écrire

^UiX^ (No + Xi Xi + X, xf + . . . + X,

-la^r-y.