La formule

Pn + l(g) Pn(^)^ (-1)"

Qn + K») Q.n{z} Qn(«)Qn + l(s)'

OÙ Qn(«) Qn+i(s) est un polynôme du degré n-\- 1, montre qu'en développant les réduites

Pn (g) ^ Pn + l(g)^

Qn (2) ' Qn+1 («) '

suivant les puissances descendantes de z, les n premiers termes de ces développements sont les mêmes. En écrivant

Pn(g)__Co Cl I C2 I (' 1 \n - 1 ^"-1 4. C 1 '!«„"»„ 1. f 1 ^n+l ^±1 1

on définira donc une suite de quantités

qui sont parfaitement déterminées et qu'on pourra prolonger aussi loin que l'on voudra. Les a sont évidemment des fonctions rationnelles des a,-, et, si l'on introduit les bi (voir l'Introduction), les a sont des polynômes à coefficients entiers et positifs des 6,-.

La manière la plus élégante pour obtenir les expressions des c,- par les bi nous paraît être la suivante , que nous avons obtenue dans le Mémoire publié dans le tome III de ces Annales.

On calcule d'abord les quantités a,-,^:, fii^i, par les formules

ao,o=l, a,,o = 0 lorsque i>0; Po,k = ao,k-{- b2ai,k,

Pl,k = 0^,k-\- bia2,k, /Î2,*: = a2,/c + ^6 «Sjft,

fii.k =a^k + l>2i + 2ai + l,k;

02,4 + 1 = 6b /32,fc + ^i,i,

«t,fc + l = 621 + 1 A«,A + Pi — 1,1

II en résulte qu'on a ai^k = Pi,k^O lorsque i > A. Les expressions a,-,*, /Sf,* obtenues, on peut calculer un coefficient c„ quelconque de plusieurs manières par l'une ou l'autre des formules

Ci+k =boao,iao,k + 6061 62ai,<a2,A + 60 61 62 6364 a2,.- «2,4 +■••,

Ci + fc + i = 60 61 Po.i Po.k + 60 61 62 63 h,i Pl,k + 60 61 62 63 64 65 h,iP%k + • • • •

Les coefficients c„ étant définis , nous considérons la série infinie

et nous dirons que c'est là le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. C'est une définition purement formelle; nous verrons bientôt que la série est souvent divergente quelle que soit la valeur de z: aussi ne faut-il l'envisager pour le moment que sous le point de vue purement formel.

Les c„ sont des fonctions rationnelles des a»; nous donnerons un peu plus loin les formules qui expriment réciproquement les On au moyen des Cn- A l'aide de ces formules, on pourra donc réduire formellement une série procédant suivant les puissances descendantes de z en une fraction continue.