Le développement
et celui de rTTl "^^ diffèrent que par les termes en
gn + l» gn-1-2»
On en conclut que le développement de
ne diffère de Pn{z) que par des termes en
n' étant le degré de Q„ (s). Par conséquent , dans le produit
les termes en
manquent. Cette condition détermine Qn(a), à un facteur constant près. Supposons d'abord n pair et posons
Q2n(~2) = ao + ai2 + «2^^+ ■ -l-OnS";
en écrivant que les termes en
z ' '"' z" manquent dans le produit de Q,2n{ — z) par
il vient
(1) . . . aoCk-haT^Ck + i + ..--{-a„Ck+n = 0 (A = 0, 1, 2, ... w — 1), et, si l'on remarque que Q2n(0) = 1 , on obtient
Cn — 1 Cn Cn-f-1
Cn
Cn + 1
Cn Cn + 1
Pn
Cn + 1
Pour exprimer plus simplement les formules (1), nous introduirons un symbole S /"(m) dont voici la définition: /"(m) étant un polynôme, S/" (m) sera le résultat obtenu en remplaçant dans f{u) les diverses puissances de M, «0, u^, u^, . . . par Cq, Cj, Cg, . . . respectivement. On aura donc
(3) SU*Q2n(-M){=0 (A = 0, l,2,...,n— 1).
Dans le cas de n impair, soit
il viendra
(4) S|MAQ2n + i(-M)l=0 (A = 0, l,2,...,n-l).
Le terme constant dans le produit de Q2n + i {— s) par
2 ''' s3 -r ^3 -t- • • • est égal au terme constant de —F^n + ii — 2), c'est-à-dire^ — 1, donc
Cette relation détermine le facteur constant que les formules (4) laissaient indéterminé et
Co
. Cn + I
Cg .
Cn + 1 .
Co
Cn Cji-|-î
Cn
Cn + 1
Les coefficients des plus hautes puissances de z dansQ2n(«), Q,2n+iiz) sont connus d'après les formules du n" 2.
La comparaison avec (2) et (6) donne dès lors
aia2. . .a2n =An:Bn,
Oj 02 . . . ff2n + l =^ Bn : An-f-i;
si nous introduisons les notations
Co C^ ... Cti—l
Cn — 1 Cn
on en conclut
. Cn
Cg ..
{Ao-.= Bo=l),
Cn
Cn + 1 .
B„B„i' "''T-i A„A„+i Ce sont les formules qui expriment les ai par les c,-.
Le coefficient de z dans Q2n+i (?) étant «i + «s + • • • + «2n+i (voir n" 2), il vient, d'après la formule (6),
en posant
ai + «3 + - • + a2n+l =
. Cn + l
Cn + 1
Cn + 2 ••
Co=l.
]2. Les expressions des numérateurs Yin{z), P2n+i(2) sont un peu plus compliquées, mais s'obtiennent encore aisément par cette remarque que la partie entière de
s exprime par
m- nu)
Il suffit de vérifier cela dans le cas f{z) = z''. On aura ainsi
Des formules (2) et (6) on déduit alors facilement les expressions suivantes. Posons
Rq = Cq ,
Kl = Co « + Cl ,
Rit= Coa* + Cl 2r*-i + . . . + ca,
on aura
Ro
Ri .
. . Rn-l
Co
■ Cn + 1
Ro Rj
fa
Cn Cn + 1
Rn
Cn + 1 Cn+2
CZn
'• An
Pour 0=:O, on conclut de la formule (9)
0 co .
Cq Cj .
Cn-1
Cn-1 Cn ... C2n-1
A l'égard du symbole S, nous ferons cette remarque à peu près évidente que, V«(u) étant un polynôme du degré n, la valeur de
S|Vn(M)|
est égale au coefficient de — dans le développement de
en supposant m ^ n + 1 , ce que nous écrivons
Pm(M)
S|V„(«l = Rés.|V„(-«)Q^;
D'après cela , on a , par exemple ,
StQl„(-u)| = Rés.lQL(«)|^;-^J
— Rp« t O (u\ ^ + P2n(M)Q2« + l (W) I
= Rés.
Nous rassemblons ici quelques formules de ce genre
S|Ql«(-«)l =
S1mQL(-m)| =~-^(—- + ^- ),
( -v^nx /) a2n + l\a2na2n-)-i a2n + ia2n + 2/
s!-^-Qi„+i(-w)i=-^-.. ;
SJ:j^Qi„+i{— M)j =ai + fl3+...+a2„+i, Voici enfin une dernière remarque : supposons
Q2n(2) -^Y^a + aJi
on aura
SiV„(tt)î=:2^MiV„(a;.),
d'où l'on voit que , si le polynôme Vn (m) ne devient pas négatif pour «>0, la valeur du symbole
SlV„(u)l
est toujours positive.
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. i'àl
