CHAPITRE III
OSCILLATION ET CONVERGENCE d'uNE FRACTION CONTINUE. CAS OU LA PARTIE RÉELLE DE S EST POSITIVE,
13. Supposons 2=1 et écrivons P«, Q„ au lieu de Pn(l), Q«(l). Les relations y\:'/:.: -- ■ ,;
P» = ttn Pn — 1 -|- Pn — 2 )
Qn=^ ffnQn-l + Qn-2 »< -'
montrent que l'on a
Pl<P3<P5<..., '■'■' ' ■ ''
Po < P2 < P4 < . • . ,
Qi < Qs < Q5 < • • • , en sorte que dans le second membre de
Qn~QoQl QlQ2'^Q2Q3 ""^Qn-lQ».'
les termes vont en diminuant.
On en conclut que les réduites d'ordre impair vont en diminuant , sans devenir jamais plus petites qu'une réduite quelconque d'ordre pair. Les léduites d'ordre pair vont en augmentant sans surpasser jamais une réduite quelconque d'ordre impair. Ainsi les réduites d'ordre impair tendront toujours vers une limite finie , et il en est de même des réduites d'ordre pair.
lim|^^ = L„
et
Si la quantité crpissanle Qn-iQ» croît au delà de toute limite, on aura ,.;;,; ..'i >
Li = L;
si, au contraire, Q»iQn tend vers une limite A, on aura Or on voit facilement que Q2n > 1, donc
Q2n + l^a2« + lQ2>i-f"Q2n — l>Q2n — l-}-Œ2n + l>
d'où
Ensuite on conclura
Q2n = 02nQ2n— 1-|-Q2n — 2>Q2n — 2-f-ai02n>
d'où
Q2n > «1 (Of, + «4 + • ■ • + «2n).
Donc , si la série
est divergente , l'une au moins des quantités Q2n, Q2n+i croîtra au delà de toute limite et
Li = L.
Nous dirons, dans ce cas, que la fraction continue est convergente. D'antre part , ayant
Qn = anQn-l +Qn-2i
on en conclut
donc
Q«-i + Q«<(l+«i)(l+«2)-(l+«")- Or , si la série
est convergente, le produit
l'est aussi et ne croît pas au delà d'une limite finie.
Dans ce cas donc, Q2n et Q2n+i tendront aussi vers des limites finies et l'on aura
Li>L.
La fraction continue, dans ce cas, est oscillante. Si l'on pose, dans ce cas ,
on aura
Q»-i + Q«<e% Qn-iQ»>ie2% Li — L>4e-2''.
Les propositions sur la convergence et l'oscillation de la fraction continue ont été obtenues depuis longtemps par M. Stern (Journal de Crelle , t. 37).
Dans le cas d'oscillation nous venons de voir que Q2« et Qan-f i tendent vers des limites finies ; il est clair qu'il en est de même de P2n
et P2n4-1'
14. Supposons maintenant z = x réel et positif On aura, d'après ce qui précède,
Fi (x) ^ F (x).
Il y aura oscillation ou convergence selon que la série
tti a; + «2 + % ^ + «4 + • • • est convergente ou divergente. Mais il est clair que cela ne dépend en aucune façon de la valeur particulière de a;, et l'on arrive à cette conclusion : si la série
est convergente , la fraction continue est oscillante pour toute valeur positive de a;, et l'on a
si au contraire la série est divergente, la fraction continue est convergente, et l'on a
15. Passons aux valeurs imaginaires de z. Pour étudier séparément les réduites d'ordre pair et celles d'ordre impair, nous remarquerons que
Qo(8)Q2('2) Q2('3)Q4('S)
Ctin + lZ
Q2n + l(2) O^Z Qi{2)Qs(z) Qs(z)(^^(Z) '" Q2n- 1 (a) Q2n + 1 (2)
Il s'agit donc de l'étude de la convergence des séries
Xj z i^
Q2ft-2(2)Q2i(2) '
Q2fc + 1 g
Q2ft-1 (2) Q2A + I (2)
Supposons 5; = a; + ?/ïi la partie réelle de z étant positive, et considérons un domaine quelconque S dans lequel x admet une limite inférieure X qui soit positive. Je dis que dans ce domaine la série (1) est uniformément convergente; en effet
Q2fc-2(2) Q2fc(2)
"< Q2fc — 2(8) Q2*: (^f) n
Or il est clair que
Q2ft-2 (2) Q2A (s) = G (2 + Oi) (2 4- aa) . . . (2 + 024-1), C et ai, Og, ..., a2ft i étant des constantes positives. Pour z^=x-\-yi, X étant positif, on a évidemment
|g + a,| >a; + a.-, donc
I Q2A-2(2)Q2fc(2)| >Q2ft-2(a;)Q2fc(a;),
et puisque x^A, à plus forte raison
iQ2A-2(2)Q2fc(S)| >Q2*-2WQ2aW;
donc
Q2A-2(3)Q2fc{2!)
Q2ft-2(A)Q2Aa)
Or la série
Q2fc-2U) Q2ft(^)
= F U) = lim
P2na) Q2n a) '
est convergente; par conséquent on peut déterminer un nombre v tel que pour w ^ r
quel que soit n', e étant aussi petit qu'on le voudra. Pour les mêmes valeurs de n on aura donc aussi
^ Q2*-2(2)Q2fc(2) '
et puisque a est un point quelconque du domaine S, cela montre que la série (1) est uniformément convergente dans S. Comme, d'autre part, les termes de cette série sont holomorphes dans S, il s'ensuit, d'après un théorème connu , que
^^ Q2fc-2(3)Q2t(2) Q2«(S)
est aussi holomorphe dans S.
On voit facilement que les mêmes raisonnements s'appliquent presque sans modification à la série (2), et il suffira d'énoncer le résultat suivant. La série
F^ (,) = J y — 9S^^-TT = '™ ^-n
est uniformément convergente dans S et F^ (z) est holomorphe dans ce même domaine.
Ainsi , dans toute la partie du plan où la partie réelle de z est positive , on a
F (s), Fi(a) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions ne sont pas identiques dans le cas où la série
est convergente ; elles sont identiques dans le cas où cette série est divergente. Supposons z^x réel positif, et faisons tendre x vers zéro.
on conclut aisément des expressions de F{x), F^ix) par les séries
lim F (33) = «2 + «4 + «6 + • • • .
lim a; Fi(a;) = 1 : («1 + ag + a5 + . . .)•
Si la série
Saan
est divergente, F (a;) croît au delà de toute limite. Si la série
est divergente , x F^ (x) tend vers zéro. Remarquons que
Q2n (X)~ Lf X-\-Xk
Z^ I X x^ -r----r( ^) ^p -l-i '> a;P(x-\-Xk)\
^2"(^) — ^ A.l 4( i\p-i^P-i \.i up ^^P .
Q2»(a;)~ a; a;^^'-"^^ ' ^c^ ^^ '' xp+^'
(0<f<l) on aura donc aussi
(0 < l< 1) et de même
16. Il faut étendre maintenant ces résultats au cas où la partie réelle de 2 est négative. On y arrive facilement à l'aide d'une proposition de la théorie des fonctions que nous établirons plus loin. Mais, avant d'aborder cette étude , nous allons examiner le cas où la série
est convergente. On peut traiter ce cas par une méthode particulière , grâce à cette circonstance que les polynômes
tendent vers des limites finies.
