SUR LES SÉRIES QUI PROCÈDENT SUIVANT LES PUISSANCES D'UNE VARIABLE

donc

On en conclut

lim 6rt ^ 0 , lim c„ = 0.

Posons maintenant

où Un^Cn — c„ i. Alors on trouve , pour x = l,

/"(l) = lim (tti + 0^2 + • • • + «n) ^ lim c„ = 0 et évidemment , pour 0 ^ rc < 1 ,

/• (ic) = (1 — a;) sin (log j^:^^) ■

Par conséquent

fa)-f{x) . (, 1 \

Le sinus oscillant entre — 1 et -{- 1, on voit que f (1) n'existe pas L'exemple

est plus simple ; mais , dans ce cas , — :j croît au delà de toute

X ce

limite en restant constamment négatif. Il conviendrait alors, peut-être, de dire que la dérivée existe et que /■'(!) = — oo . Mais ici se pose maintenant une question délicate.

SUR LES SÉRIES QUI PROCÈDENT SUI VANl" LES PUISSANCES D'UNE VARIABLE. 71

Supposons que /"'(l) existe et ait une valeur finie, peut-on en conclure que

liiaf'(xh = i=ra)?

Nous ne le savons pas. Nous n'avons pas rencontré un exemple qui eût montré que cela n'est pas vrai.

En posant

Sk ^ ^^ On, k

on a

= 7 Sn»"

Dans le cas où la série ^ s„ est convergente , on a

comme M. Kronecker vient de le démontrer ^). Or on trouve

(S^^^IM f^'(a;) = {l-x)ls, + 2s,x + 3s,z^ + ...■]

et l'on en conclut, d'après une proposition de M. Frôbenius^j,

f'a)-limf'{x),c = i = 0.

Ainsi, lorsque la série ^ s„ est convergente, la fonction f{x) admet

une dérivée qui est continue dans l'intervalle O^x^l. Mais il reste douteux , si cela reste vrai , sous la seule condition que /"' (1) existe.

') Comptes rendus, t. ClII, p. 980.

^) Journal de Borchardt, t. 89, p. 262.