CHAPITRE VIII

ÉTUDE DE l'intégrale / ^^ '

51. Soit v'(m) une fonction croissante quelconque [v(0) = 0], nous supposerons seulement que la distribution de masse quelle représente a des moments finis d'ordre quelconque , et nous poserons

/oo u'' dy>(u).

Considérons maintenant l'intégrale

dy (m) — i — >

qui représente une fonction holomorphe dans tout le plan , excepté la coupure. Si la fonction y^(u) est constante à partir de M = a, l'intégrale se réduit à

'•<*dtp{n)

et la coupure ne s'étend que de m = 0 jusqu'à u = — a. Tous les moments sont alors finis dès que cela est le cas pour Cç^^w (a). L'intégrale admet évidemment un développement asymptotique

qui est divergent en général et convergent pour [ « | > a dans le cas particulier que nous venons de mentionner.

Mais on a toujours , lorsque z = x est réel positif,

dw{u) Cq g I ( ,\n-i<^»-i I / .. i\n ^^» m<'A^n

Le développement en fraction continue de cette intégrale , ou , à proprement parler , de son développement asymptotique , a fait l'objet des recherches de Tchebicheff , Heine , Darboux.

RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 4d9

Nous allons reprendre ici cette étude , en nous attachant surtout à la question de la convergence , qui n'a guère été considérée dans les travaux antérieurs que nous venons de rappeler , et dans lesquels on a pris toujours la fraction continue sous la forme (I ^) (voir l'Introduction).

Pour réduire la série en fraction continue , on n'a qu'à appliquer les formules du n" 11, les déterminants A„ et B„ seront positifs comme déterminants des formes quadratiques positives

PuiXo + mXj + M'^Xg + . . . + M"-i X„ i)2 dv-Oi).

On trouvera donc une fraction continue du type que nous avons étudié , les Ui étant positifs.

Dès lors , nous pouvons appliquer les résultats obtenus par l'étude directe de la fraction continue.

Deux cas sont à distinguer :

ou

1° La série ^ a» est convergente.

Dans ce cas on a

Q2„ + i(2) '^ ' qAz) ^s + Oi J z + u

2f> La série 2. «n est divergente.

Dans ce cas , on a

Qn(2) ^ ' J Z-\-U

dy)(u)

I qui a été l'origine de la fraction continue ? '^

52. Pour répondre à cette question, supposons d'abord 2 = x réel et positif. On a alors ce théorème (voir Comptes rendus, t. CVIII p. 1297; 1889):

Le minimum de l'expression

est égal à

p drpju) P2« (x) J x-\-u Q2n(a;)

et l'on a donc nécessairement

pdyÇM) P2„(x)

La vérification est facile ; posons

2= 1 + Xj (a; + m) 4- XaCx + M)2 + . . . + X„(a; + m)«; les conditions du minimum sont

(1) |"(a; + «)*£dvO«) = 0 [A = 0, l,2,...,(n-l)].

Ces relations sont visiblement équivalentes à celles-ci

y°°M*2dv'(M) = 0 [A = 0, l,2,...,(n-l)],

ou bien, si l'on se souvient le symbole S introduit au n" 11,

SjM*£j=0 [A = 0, 1,2, ...,(n— 1)].

D'après la formule (3) du n° 11, le polynôme £ dans le cas de minimum, ne diffère donc que par un facteur constant de Q2n( — m), et, puisque £ se réduit à l'unité pour m = — x, on aura

Q2»(a;) Le minimum est

fl^^=i"îïï'[>+^.<-+"'+-+^"<-+")"].

ce qui, à cause des formules (1), se réduit à

p drp(u) Q p drpju) 1 p Q2n(a:) — Q2n(— «) ^ ..

La dernière intégrale est évidemment égale à

ce qui achève la démonstration.

On vérifiera aussi aisément ce second théorème :

Le minimum de l'expression

est égal à

P2n + i(a;) f^dtpiu)

et l'on a donc nécessairement

P2»+i(a;)^ r»dv(M)

A ces théorèmes, j'ajouterai la remarque suivante:

Dans le cas du premier théorème, £ est le polynôme en « le plus

-— j est aussi un tel polynôme ; on aura donc

r" drp(u) P2n (x) r=° U^"dy}(il) J x + u Q2„ ix) ^J x^^ix + u}'

c'est-à-dire

P2n (x) -^ Cq ^ I £2 C2»-l

Q2» (x) ^ a; a;2 ■•" x3 • • • ^2n ' et l'on trouvera de même

P2n + l(a;) Cq Cl . , C2«

50â RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.

Ces inégalités , nous les avions obtenues déjà (n** 15) , mais rappro chons-les maintenant de celles-ci

P2» ix) . f^dviu) P.2„+i(a;)

Q2n(a3) / iC + M Q2n + l(a;)

Pour calculer numériquement l'intégrale

on peut se servir de la série (même divergente)

la somme d'un nombre pair de termes donnera toujours une limite inférieure , la somme d'un nombre impair de termes une limite supérieure.

Mais on peut aussi réduire la série en fraction continue : les réduites successives donneront encore alternativement des limites supérieures et inférieures.

Nous voyons maintenant qu'il y a toujours avantage à réduire la série en fraction continue : les limites données par les réduites sont plus rapprochées que celles données par la série.

La limite de l'approximation que peut donner la fraction continue est caractérisée par ces inégalités

F(x,g/-|^>SF,(...

53. Il est facile maintenant de répondre à la question posée à la fin du n" 51.

Dans le premier cas , lorsque la série

est convergente , nous savons que le problème des moments est indéterminé (n° 24). C'est dire qu'il existe une infinité d'intégrales

qui sont des fonctions holomorphes distinctes de z, qui donnent le même développement asymptotique

et , par conséquent , aussi la même fraction continue.

Le calcul des réduites de cette fraction continue conduit à deux limites

d9{u) p(z) ^ fii

J z-\-u q{z) 2^z-\-ki

/•°° d <î>i (m) pi (z) y" Vj .

mais on ne peut établir évidemment aucun lien précis entre ces deux fonctions parfaitement déterminées et une intégrale telle que

dy>{u)

puisque cette fonction est susceptible de varier,

La seule chose qu'on peut affirmer c'est que, pour z = x, on aura toujours

q(x)-J x-\-u-qi{x)

Les fonctions <I> (m) et ^j (m) figurent d'ailleurs aussi parmi les déterminations possibles de y («)•

On ne peut pas avoir, pour une valeur particulière x = Xf),

PJXo) r d xf (m) ^

sans qu'on ait identiquement dans tout le plan

et les fonctions y){u), <P{u) peuvent être considérées comme identiques, puisqu'elles caractérisent la même distribution de masse. En effet nous avons vu que

p dipju) P2H(a;o) r dyjju) J Xq+u Q2n(a;o) J Xq + u

Or, si le second membre tend vers zéro pour m = 00, comme nous le supposons ici , cela aura lieu à plus forte raison lorsqu'on remplace Xq par un nombre plus grand. Par conséquent , on aura

p (s) p dtp (m)

dès que z est réel , positif, plus grand que Xq.

Mais alors cette égalité aura lieu dans tout le plan. On verra de même que l'égalité

Pi (Xq) /•* dxp(u) q^ix^) J Xq-\-u

entraîne l'identité

Pi («) r dy> (M)

Tant que la distribution de masse, caractérisée par rp(u) n'est pas identique à une de celles représentées par $ (m) et $1 (m), on aura

p (X) . /•" dvjM) ^ Pi (X)

l'égalité étant exclue.

54. Dans le second cas , la fraction continue est convergente et l'on aura, pour z = x,

p drpju) F„{x) f'" d<^(u) ^

car , dans ce cas , F (x) = Fj (x). Il s'ensuit que l'on a

car cette égalité ne peut avoir lieu pour z = x sans avoir Heu dans tout le plan. Les fonctions tp {u) et $ (m) seront identiques ou elles représenteront au moins la même distribution de masse.

On voit aussi que le problème des moments est déterminé dans le cas actuel , et qu'il n'admet pas d'autre solution que celle caractérisée

par la fonction $ (m) ou y> (m). En effet, si le problème avait une autre solution caractérisée par Vi(m), l'intégrale

/■°° d vi (m) J e + u

donnerait toujours la même fraction continue, et il s'ensuivrait

pd^^(u) r'^dxpiu) r'"d$(?i)

Il est à remarquer que ce second cas peut arriver, même lorsque le développement

z z"^ ^ •'• est toujours divergent. En effet, la série est dans ce cas lorsque

Cn+l Cn

croît au delà de toute limite. Nous savons que , pour cela il faut et il suffit que les nombres

ne soient pas limités supérieurement. Or , il est clair que cela n'empêche nullement la série

d'être divergente. On pourrait, par exemple, prendre arbitrairement tous les a,, exceptés ceux d'une certaine suite infinie

et déterminer ensuite ceux-ci de façon que les nombres

croissent au delà de toute limite.

55. Pour donner un exemple de la théorie que nous venons d'exposer, considérons l'intégrale

" [l + Asin(l^M)]e-'*"« ^ ^^— ' ^^T — ~ du

OÙ — l^A^l. Puisque

dy (u) = [l + A sin (I^m)] e- 1^ »dM ,

nous avons affaire ici à une distribution de masse à densité finie. Cette distribution varie d'ailleurs avec le paramètre X. Mais , si l'on calcule les moments, on trouve

= r u>'e-^"du {A = 0, 1,2,3,...);

Ck-

ils ne dépendent pas du paramètre X; en effet, on vérifie sans peine que les intégrales

Tu* sin (I^m) e->^ » dM = 4 ru^^+s sin ue-^du (A; = 0, 1, 2, 3, . . .)

sont toutes nulles. Le problème des moments a donc manifestement une infinité de solutions; nous sommes dans le cas indéterminé, et il est certain que des valeurs des Ui seront telles que la série

est convergente. La fraction continue donnera deux limites

P(g) V f^* Pi (^) —

wa 4-A.' a, (?) Zmr :

q(z) Âm'z-{-Xi g^ (?) Àmrz-j-Oi

et les distributions de masse (/i,-, A,), (v,, 0,) constitueront encore deux solutions particulières du problème des moments. Mais on ne peut établir aucun lien précis entre la valeur de l'intégrale et les limites fournies par la fraction continue. Toutefois , lorsque z = x est réel positif, on pourra toujours obtenir des limites supérieures et inférieures de l'intégrale en calculant les réduites. Mais , puisque les c* et les Uk ne dépendent point de A, on voit qu'on ne tient aucun compte de la partie

Puisque X peut varier de — 1 à + 1 , on en conclut nécessairement

PM^PMy2ne-ryr,, 3i (ic) q {x)

La fraction continue ne peut donner qu'une approximation limitée , comme c'est le cas aussi du développement en série. En calculant Oj , 02, . . . , on voit que ces nombres suivent une loi très compliquée , en sorte qu'on ne peut pas vérifier directement la convergence de la série

In-

56. Je donnerai encore un autre exemple dans lequel cette vérification peut se faire.

Soit /"(m) une fonction impaire et périodique de u,

nu+i)=±nu),

alors l'intégrale

f M*M-l0B»/"(l0gM)dM,

où k est un entier quelconque, positif nul ou négatif, est toujours nulle.

Pour le voir , il suffit de remarquer que

f e-'^r(v)dv = 0

et de faire la substitution

v = ^ + log ?«.

Ainsi, dans le cas /"(?«) = sin (2^m),

f M*M-'°««sin(27ilogît)dM = 0.

Je considère maintenant l'intégrale

1 f^ l-\-XsiB(2jilogu) ,„^„,

T-^ / — ' r -—^u-^°«"du,

VnJ « + M

— ig;ig + i.

On voit que les choses se passent comme dans l'exemple précédent ; la valeur de

est indépendante du paramètre X.

La fraction continue doit donc être oscillante; cela se vérifie ici directement, puisqu'on a

(l — e 2)(i e-i)(i — e 2)...(i e 1) A cause de c > 1 , la convergence des séries

est manifeste. Pour abréger, je supprime le calcul qui donne les valeurs des «n (et qui reste valable sans qu'on ait besoin de supposer que e ait la valeur particulière 2,71828 . . .).

Dans le cas actuel , la différence

Pi {x) p {x) q^{x) q(x)

doit surpasser nécessairement

2 /■=° sin (2:71 logw) , , ^ j^ix- VnJ X-\rU

57. Comme exemple du cas déterminé, je rappellerai d'abord la fraction continue étudiée par Laguerre , dont nous avons parlé dans l'Introduction. Puisque, dans ce cas,

n la fraction continue est convergente et représente dans tout le plan , excepté sur la coupure, l'intégrale

e-'"du

La masse s'étend ici à l'infini, et, en effet, les nombres 6„ =

... , . anOn + l

ne sont pas limités supérieurement.

Dans le cas où la masse ne s'étend pas à l'infini, la fraction continue est naturellement toujours convergente , car le développement en série est alors même convergent pour des valeurs suffisamment grandes de z.

Comme exemple de ce cas, considérons une fraction continue périodique telle que

On connaît, dans ce cas, immédiatement la fonction F (a)

l'une des deux séries

^fl2fc, 7 ^«2^ + 1

sera toujours divergente. Mais la fonction F (z) doit pouvoir se mettre sous la forme

et l'on a vu, dans le n" 39, comment on peut mettre F (s) sous cette forme, si l'expression explicite de F (s) est connue.

Ce calcul conduit ici aux résultats suivants. Deux cas sont à distinguer selon que p^q-

Premier cas : p > g.

Posons

a = (Vp-Vq)\

fi = {Vp+Vqr, on aura

F(-x^^^ I ^ f^V{u-a){^-u) du

^ ' z ' 2nJ U Z-\-U

Ainsi il y a, à l'origine, une concentration de masse égale à Vafi=p — q, puis une distribution continue de masse dans l'intervalle (a, /?).

Second cas : p < q.

On trouve simplement

la masse concentrée à l'origine du premier cas a disparu. Dans le cas particulier: p = q, on a a^O, et l'on peut appliquer l'une ou l'autre des formules trouvées. Il n'y a pas de masse concentrée à l'origine , mais la densité y devient infinie.

Dans le premier cas, la série

est convergente , et sa somme est l : {p — q).

58. Nous allons montrer que , toujours dans le cas déterminé , la masse concentrée à l'origine est

elle est nulle lorsque la série est divergente. Dans le cas indéterminé ,

est le maximum de la masse qui peut être concentrée à l'origine; elle s'y trouve , en effet , dans la distribution

puisque

^0 = ^. ''o=l:2ir"^

l2ft + li

mais , dans toute autre distribution , la masse concentrée à l'origine est moindre.

Je rappelle la limitation

dyj{u)

nous savons (no 15) que

lima;F](x)= 1 : 7 024 + 1.

Nous allons montrer que

1^™ / "-f:— = lini V (e) = M.

en désignant par ju la masse concentrée à l'origine. En effet ,

p a; d y (M) r^' xdtpju) r^" xdy)(u) . /•" xdrp{v

et il est évident que

/"■a^dyW y(^ (0<f<l)

i xi-u i + ^x ("<f <1)

la première intégrale tend vers /*, les deux autres vers zéro. Dans le cas déterminé , on a

il vient donc ;

Dans le cas indéterminé , on peut conclure seulement

et cela pour toutes les distributions équivalentes qui donnent les mêmes moments et la même fraction continue.

Nous savons d'ailleurs que, pour la distribution caractérisée pai $1 (M) , on a

Je dis maintenant que , pour toute autre solution du problème des moments , on a

En effet, admettons que, pour *j (u) et 'J'(m), on ait

Si , dans chacune de ces deux distributions (supposées différentes) , on enlève la masse fi concentrée à l'origine , il restera deux systèmes de masses donnant encore les mêmes moments , c'est-à-dire équivalentes. Il existe alors une troisième distribution de masse, équivalente à ces deux-là et qui a, à l'origine, une masse finie ju'. Cette distribution est caractérisée par une fonction #î (m) analogue à $i (u). En rétablissant maintenant la masse /x, on aurait une solution du problème des moments primitifs , avec une masse fi -\- fi' k l'origine qui serait supérieure à

Cela est impossible, d'où la proposition énoncée. 59. Dans le cas où la série

oo

est divergente , nous avons vu que la fraction continue est convergente et que la limite des réduites est

KECIIERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 6 là

Il est clair maintenant que la fonction $(m) qui figure ici n'est assujettie dans un intervalle quelconque (a, 6), à aucune autre condition restrictive que celle d'être croissante. Il s'ensuit qu'en général la coupure est bien une ligne singulière à travers laquelle il est impossible de continuer analytiquement la fonction F {z). En effet , pour que cette continuation analytique soit possible à travers l'intervalle ( — a, — b) de la coupure , il faut que la fonction * (m) soit une fonction analytique de m dans l'intervalle (a, b). Or c'est là une condition très restrictive qui ne sera point satisfaite en général.

Mais, si l'on veut donner des exemples particuliers, on ne peut guère commencer par se donner les a*, ou cela n'est possible que dans des cas très restreints. Il faudra bien se résigner à prendre pour $ (m) quelque fonction analytique , ainsi s'explique qu'en réalité nous n'avons pu donner aucun exemple du cas général dans lequel la coupure est une ligne singulière. Dans tous nos exemples, la coupure est seulement une coupure artificielle.

60. La fonction y>{u) étant donnée, ou la distribution de masse qu'elle représente, comment peut-on savoir si la fraction continue pour

est convergente ou divergente? C'est là un problème qui présente quelques analogies avec celui qui consiste à décider de la convergence ou de la divergence d'une série donnée. On n'en peut guère donner une solution générale; tout ce qu'on peut faire, c'est donner quelques règles qui permettent de répondre à cette question dans un certain nombre de cas particuliers. Lorsque a fraction continue est convergente, le problème des moments n'admet qu'une seule solution; nous dirons aussi, dans ce cas, que la distribution de masse représentée par y;(u) est déterminée. On ne peut guère faire varier cette distribution , sans introduire des masses négatives, si l'on veut conserver les moments. Or les masses négatives seront toujours exclues. La distribution de masse est indéterminée, au contraire, lorsque la fraction continue n'est pas convergente , mais oscillante.

Voici d'abord quelques remarques qui sont à peu près évidentes. Si , à une distribution de masse indéterminée , on ajoute de nouvelles masses, on restera toujours dans le cas indéterminé. Si, à une distribution déterminée on enlève une partie de la masse (toujours sans introduire des masses négatives) , on restera dans le cas déterminé.

Dès qu'on trouve deux distributions équivalentes qui ne sont pas identiques, on est certainement dans le cas indéterminé.

Qu'on veuille bien se reporter maintenant aux formules (8) et (11) des n°* 11, 12, par lesquelles les sommes

ûf2 + "4 + • • • + «2n

s'expriment au moyen des Ck.

On trouve facilement que,

C,-, ft Xj Xa <lf (Xg , Xj, X2,

étant une forme quadratique définie et positive, le minimum de s'exprime par

Co,0 Co,l . . . Co,n Ci,o Cl 1 . . . Ci,n

Cm

Cn,l

Cm,o Cn, 1 . • . y-inyn

Dès lors , on reconnaît que le minimum de

Ci,n

r (1 + Xi t< + . . . + X„ u«f d w (w)

est égal à

et le maximum de

I [l(l + XiM + X2u2 + ... + X„M»)2]™

est égal à

On trouve, du reste, facilement que, dans le premier cas, on a

— mQ2„+i(0) et , dans le second ,

1 + Xi M 4- '. . . + X„ M« = Q,„ (- tt).

Pour abréger, nous écrivons le premier résultat ainsi

{d V^ (m)!„ = 1 : (ai 4- «3 + . . . + a2„ + ]).

Remarquons que l'intégrale, dont \dy}{u)l„ est le minimum, a pour u = 0, un élément égal à la masse ju concentrée à l'origine ; on a donc

en sorte qu'on retrouve, de cette façon, la limitation

Lorsque n augmente, \dy}{u)\u ne peut que diminuer; pour w=oo, cette expression tend vers une limite positive ou nulle que nous représenterons par

l<^V^(w)loo = l:^«2ft+i.

61. Considérons d'abord le cas oh il n'y a point de masse concentrée à l'origine. Nous savons que , dans le cas déterminé , la masse concentrée à l'origine est égale à