Voici comment on peut interpréter ce résultat

Désignons par les symboles D„ et D les distributions de masse caractérisées par les fonctions g?„ (m) et 4> (m). On peut passer de la distribution Dn à la distribution D par un certain transport de masses. Convenons de dire que le transport d'une masse m sur une longueur l exige un travail mesuré par ml. Alors on voit, sans difficulté, que le travail total minimum nécessaire pour passer de D„ à D (ou réciproquement) est mesuré par

<Pn(U) — *{M)|dM.

Nous désignerons ce travail minimum aussi par \D„, D}, et il semble naturel de dire que la distribution Dn diffère infiniment peu de D lorsque |D„, Dj est infiniment petit.

Ainsi D peut être considérée comme la limite de D„.

En général , lorsqu'on a une suite infinie de distributions

■L'i > -1^2 » ^s> ' • • > et qu'il existe une distribution D telle que

devienne inférieure à e dès que n surpasse une certaine limite , on dira que D est la limite de D„.

On peut reprocher à cette définition de faire intervenir la limite D elle-même , et puisque

|D„, D„+„'| g |D„, D| + {D, D„+„'| < 2s, on serait porté à adopter la définition suivante : la suite

Dj, Ds, Dg, ...

tend vers une limite s'il existe un nombre n tel que

|D„, Dn+n'l < e, e étant un nombre positif arbitraire.

Mais il est clair que cette dé6nition manque de sens précis, tant qu'on n'aura pas démontré qu'il existe effectivement une distribution D telle que |Dn, D| devienne infiniment petit. Nous avons voulu indiquer seulement cette question , que nous n'examinerons pas ici.

Puisque

n P2n(g) y^ Mj ^

on voit qu'on peut considérer cette réduite elle-même comme une espèce de moment paramétrique (dépendant du paramètre z) de la distribution D„. Et le résultat principal de nos recherches revient donc à ce que le moment paramétrique de Dn a pour limite le moment paramétrique de D.

Or, si l'on considère l'intégrale définie par laquelle s'exprime le moment paramétrique de D, et si l'on se rappelle la définition d'une intégrale définie comme limite d'une certaine somme , on verra que , pour cette somme , on peut justement prendre le moment paramétrique de Dn, c'est-à-dire la 2w'*™® réduite de la fraction continue. On peut donc dire que la fraction continue est une transformation identique de l'intégrale définie. Cette singulière réduction l'une à l'autre de deux expressions analytiques si différentes, une intégrale définie et une fraction continue, nous l'avons remarquée pour la première fois dans le cas particulier où Q2«{2) est un polynôme X„ de Legendre. (Voir Comptes rendus, t. XCIX, p. 508; 1884).

C'est le désir d^ généraliser ce résultat qui nous a fait entreprendre les recherches que nous exposons ici.