SUR QUELQUES TRANSFORMATIONS DE LA FRACTION CONTINUE
76. Supposons qu'à une distribution de masse donnant les moments
on ajoute une masse /i concentrée à l'origine. Il est clair que Cq se changera en Cq + /i ; les autres moments ne changent pas. Pour voir ce que devient la fraction continue après cette modification , il sufifît de se reporter aux formules des n°^ 11 et 12. On voit alors que le déterminant A„ devient A„-f-/<C„i, les déterminants B,,,C„ ne changent pas. Il s'ensuit que
An
Bn B„]
deviendra
BnBn i BnBn — 1 V An /
or
Cn —
^ = «1 + «3+. . . + rt2n-i;
donc 02» se changera en
[1 +/i(ai+a3 + ... + rt2n-l)]^a2n = a2n-
Ensuite, on voit par un calcul analogue que a^n + i devient
02« + i:[l-f^(aj+a8 + -.- + a2n-l)]X[l+-"(«l4-«3+ •• + 02n + l)] = «2n+l.
Ces relations , on peut les écrire aussi
(ai + a8 + -- ■ + a2k-ifa^k = (ai-{-a3-\-. . . -^-aïk-if a^k- Sous cette forme , elles sont presque évidentes , puisque
(«1 + «8 + • • • + a2k-if aïk = R-|r^~ •
RECHERCHES SUR LÈS FRACTIONS CÔNTINÙfcs. 54â
Si le problème des moments est indéterminé dans le cas des données il sera évidemment aussi indéterminé dans le cas des moments
Mais si l'on est d'abord dans le cas déterminé, pourra t-il arriver qu'on soit dans le cas indéterminé après avoir ajouté le masse fi à l'origine ? Nous avons déjà annoncé (n" 65) que cela ne peut arriver que dans un cas exceptionnel.
En effet , on suppose la série
divergente et les séries
convergentes l'une et l'autre. La première série est toujours convergente mais , pour que
oc
soit convergente , il faut et il suffit que
^(ai + a3+ ... -\ra2k-\fa2k
soit convergente. Il s'ensuit que la série
est convergente aussi ; donc
sera divergente, tandis que
sera convergente évidemment. On est donc dans le cas particulier étudié au n°6Q, et la solution du problème des moments est donnée par le système
Mais, en ajoutant la masse /i à l'origine, on obtient un système indéterminé. Mais je dis que la solution formée par les masses fi et (yk, a^) est la solution qui donne la plus grande concentration à l'origine et est, par conséquent , du type
{vk,$k) (00 = 0, Vo = ^).
En effet, il y aurait autrement une solution avec une masse /< -f" /"' ^ l'origine, et, en ôtant la masse /u, on aurait un système équivalent au système {yk, a*:), mais qui ne serait pas identique avec ce système déterminé, ce qui est impossible.
77. Supposons maintenant que l'on remplace Ck par Ck + i- De chaque solution {nii, xi) du problème des moments (co, q, c, . . .) on déduira évidemment la solution (niiXi, x,) pour le cas des moments (q, c^, Cg, . . .). Ainsi, si l'on est d'abord dans le cas indéterminé, on restera toujours dans ce cas indéterminé. Mais nous avons annoncé déjà (n° 65) que, lorsqu'on est d'abord dans le cas déterminé , il pourra arriver , dans un cas exceptionnel , que le second problème soit indéterminé.
C'est ce qu'on déduira sans difficulté des formules que nous allons donner.
Il est clair que, par le changement dec/ten Ck + \, A„ deviendra B„, B„ deviendra C„.
Donc, si Uk se change en à^, on aura
O2n=o^7r — = a2n+i :K + a3 + . . . + a2»-i)(ai + a3 + --- + a2n+i),
yjn t/n -1 q2 02n-l= T3 p~ = a2n(cri + a3 + • •• + «2n-lf.
Ensuite, on voit facilement que Q2»i(3) devient
Voici maintenant les formules pour la transformation inverse. En réduisant la série
en fraction continue
aiz-\-
«24--Tr ^
on aura
ai =-1,
a2n + i = a2n: {m — Og — a^ — ... — ft2n-2)(m— a^ — a^ — ... — a2n), 02„ =a2n-i(»î — ag — a^ — ... — a-zn-zf-
78. En dernier lieu étudions l'effet d'une translation sur un système de masses. Cela revient à développer , suivant les puissances descendantes de z, l'expression
z+X (^ + A)2 r(^ + ;)3 En supposant qu'on obtienne
C0 Cl . ^2
on aura
Un calcul facile montre qu'en remplaçant Ck par 4 le déterminant A„ ne change point, le déterminant B» devient BnQ2n(^), d'où l'on déduit
Si /l > 0, un système indéterminé restera toujours indéterminé, mais un système déterminé peut se changer en système indéterminé dans un cas singulier , comme cela à été déjà énoncé au n" 65.
