sh ^ M

87. On obtient des formules analogues si l'on considère une nouvelle suite de polynômes, définis par la relation

La série donne la fraction continue

OÙ

La fraction continue est convergente, et, puisque

on voit que ( — l)";f2n W est un polynôme du degré n à coefîficients entiers et positifs en ^(1 — A). Ainsi, ce polynôme est constamment positif et croissant de A = 0 à A = ^.

La limite de la fraction continue s'exprime ainsi

4sin

z du

Jiu 1 — nu

(e"" + c-"")2 — 4cos2(A7i)

ou encore

Nous avons posé ici

Ch(M) = COS(lM):=

La série

enfin donne la fraction continue

OÙ

La limite de la fraction continue s'exprime par '^ udu

. ,. . n uau OU encore par

on a

par conséquent (— 1)" x2n-\ (^) est positif dans l'intervalle (0, W négatif dans l'intervalle (1, 1).

88. On connaît le rôle que les polynômes de Bernoulli jouent dans la théorie de la formule sommatoire d'Euler et de Maclaurin. Les polynômes ;f„ (A) jouent un rôle analogue dans la formule de Boole (Treatise on differential équations, Chap. IV, p. 13; 1859):

fix + h)-r{x) = ^S^^iMi ly (X + /i) + /' (z)} h

-f(-l)"-i^||'g yg^y(2"-i)(x + /i)+/'^''-''(a;j]/»''''-

+ cRn,

—(2^/ ;K2«(M)/-<2» + >'(X + Au)dM,

âln= j^^;^2^^4(22"+2 i^B„+i/^<2«+«(a;+!fA). 0<f<l.