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mais nous allons voir que cette intégrale définie se réduit encore à une série. Substituons en effet, aux fonctions elliptiques, leurs développe ■ ments en séries périodiques, on trouve sans peine
Vf tN 2^ V g"^*
On reconnaît ainsi que les fractions continues pour Fg(a, k) et Fi{z, k) sont aussi du type que nous avons étudié. C'est ce que nous avons déjà vérifié d'une autre façon dans l'Introduction pour Fs{z,k).
Mais les réduites des fractions continues pour Fg (s, k), F^ {z, k) tendentelles vers les expressions de ces fonctions que nous venons de donner? Pour répondre affirmativement, il faudrait savoir qu'on est dans le cas déterminé du problème des moments.
8i. Supposons A;<l,g<l, l'expression de Fi{z,k) montre qu'en posant
Xn —
le système des masses
est un système déterminé. Ensuite le système
sera aussi déterminé; car, pour qu'il en fût autrement, il faudrait que la série
^ a'2n-l = ^ a2„ ("i + .'3 + • • • + "2n- if
soit convergente (voir n". 77) ; or, on constate que la série
est déjà divergente.
On en conclut que, M étant une constante quelconque , le système des masses
,-)-l M, Xr.
est un système déterminé. Or, si l'on prend
on reconnaît immédiatement que le système
sera aussi déterminé. Cela prouve que la fraction continue pour Fg {z, k) est bien dans le cas déterminé; la limite est bien égale à FQ{z,k). Considérons la fraction continue pour F^ijStk). La série
est convergente (il y a une concentration de masse à l'origine). Si l'on remplace ck par Ck+i, on aura (n°. 77)
a2n-l>ff?a2n.
En changeant de nouveau ct en ct + i, on aura ,
a2n-l = a2n(fl'l + a3 + . ..4-«2n-l)^
a'in-x > a2na'A-\ > -2«2n + i o|„-
Or la série
2a2n + ia|„
est manifestement divergente ; il en est de même de la série
ce qui prouve que le système des masses
est un système déterminé. En prenant
ni — g2n' on reconnaît que le système
n^q" /nn'^
est également déterminé, c'est-à-dire la fraction continue pour Fi{z, k) tend bien vers F^ {z, k).
Nous avons supposé /c < 1 , mais on voit facilement que F,{z,~) = kF,{kz,k),
F,{z,\) = kFA/cz,k),
F,[z,^) = k''F,{kz,k),
F,{z,^) = k'^F,{kz,k), ce qui montre que cette restriction est inutile.
85. Les distributions de masses correspondant aux fonctions F{z,k) présentent toutes cette particularité que, lorsque k tend vers l'unité, les masses deviennent infiniment petites , mais aussi infiniment rapprochées.
Pour A; = 1 on obtient , comme limite , une distribution continue de masse sur l'axe. C'est le même phénomène que nous avons rencontré déjà (n" 79).
Il ne semble pas sans intérêt d'obtenir directement la distribution correspondant à A; = 1, comme limite de celle qui correspond à A;= l — e, e étant infiniment petit. Faisons le calcul pour Fj (s , k). Posons
d sera infiniment petit , et l'on aura g = e - ^ avec une approximation
suffisante. Ensuite
2n iô kK ~~li"'
et la masse $ (u) comprise dans l'intervalle (0 , u) sera
ir \i4-e-«' + T+>"^ + • • • + 1 | e-(?.n+i)s) •
si l'on suppose que l'entier « est déterminé par la condition qu'on doit avoir sensiblement
en sorte que
(2n-f \)ô = ji\^u.
A la limite , e et ^ tendant vers zéro , on aura
nu -^Jiu
Remarquons que , dans le cas A = 1 , les fractions continues pour Fg(2!, A), Y^{^, k), qui sont de la forme (I**), se ramènent facilement à la forme (I") , ou (I) , et l'on reconnaît alors qu'elles sont encore convergentes dans ce cas.
86. Je vais donner maintenant la fraction continue dans quelques cas oîi les moments Cn s'expriment très simplement par les polynômes de Bernoulli, définis par la relation
en sorte que <Pq (A) = A — ^. On supposera dans ce qui suit 0 < A < 1. Considérons d'abord la série
<Pi(^) ^gJi) ysW 9^7 (^) I
elle donne la fraction continue
où
Mis RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
OU bien
Comme on le voit, la fraction continue est convergente, et elle repré sente, tant que la partie réelle de z est positive, l'intégrale
4sin"Ujr) / „ I „ — ~
'«du,
qui s'exprime aussi par
y>{z) étant la dérivée de log r{z).
Une autre expression de cette fraction est celle-ci
où sh M =
On trouvera la démonstration de ces formules dans le Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXIV, p. 370; 1890.
Pour X= J, on retrouvera facilement la fraction continue qui nous a servi au n°. 63.
Considérons en second lieu la série
yoW I 9^2 W I nW I nW .
elle donne la fraction continue
ftp
où
60 = ^ — i, bn =
4(2n— l)(2w+l) Les valeurs des a2n, fl2n-t-i sont un peu compliquées, mais on voit
encore facilement que les séries
sont divergentes l'une et l'autre.
Tant que la partie réelle de z est positive , les réduites tendent vers
r" — 2 g dw
sin (227z)
C^^u ^ g-2jr« 2 cos (2A7l)
b Cette limite s'exprime aussi par
^v'(2 + ^)-iv(s4-i-'î) et par l'intégrale
«5 ./ sh * M
