Le nombre B étant pair on a

k = ^E(^] (mod2).

Supposons que parmi les nombres E ( — ) il y en ait l qui sont impairs, k et l seront de même parité. Mais il y a plus, car on a k^=l, ainsi :

Si l'on divise les nombres

par p, on trouvera autant de quotients impairs que de restes qui sur-

P passent ^•

Pour le faire voir , je remarque d'abord que E (a) + E (g — a) = g — 1 par suite les quotients de wg et (p — m)q par p sont toujours de même parité, car leur somme est q — 1. Il en résulte que si je considère les deux groupes de nombres

(a) 2q, iq, &q, ..., (p — l)q

(fi) 2, 3g, 5g, ..., (p — 2)q

et si je divise tous ces nombres par p, le groupe (a) donnera autant (k) de quotients impairs que le groupe (/î). Le groupe

q, 2q, 3q, ..., (p — l)q donnera par conséquent 2k quotients impairs, et par suite chacun des groupes

tM P + l P + 3 p + 5

en donnera k.

Donc les groupes {y) et (S) ou

yq et 2yq {y=l, 2,3 ^^)

donnent le même nombre de quotients impairs. Maïs il est clair qu'en divisant 2yq par p le quotient sera pair ou impair selon que le reste

obtenu en divisant yq par p sera inférieur ou supérieur à ^, d'où la proposition énoncée.