III) = (IV

Pour la démontrer je cherche une expression du nombre (IV) qui indique combien il y a des points du réseau satisfaisant aux conditions

2px + 2qy—pqy0,

px — qy>0.

Pour une valeur donnée de y on doit avoir

^ q(p — 2 y) ^ qy

Tant que y < ^ on n'a qu'à faire attention à la première limitation,

et pour y > ^- c'est la seconde limitation qu'il faut seulement envisager.

Pour y <C ^ on aura donc

q-1 ^(q(p-2y)\ (2yq 1\

valeurs de x, et pour 3/ > ^ ce nombre sera

On a donc

Or , dans la première somme 2 y parcourt les nombres pairs infé-

rieurs à -„ , dans la seconde p — 2 y parcourt les nombres impairs in-

P férieurs à -k^ ; on peut donc écrire simplement

et l'on trouvera de la même façon

A cause de

E(a) + E(a + -^) = E(2a) on en conclut