IH<P

dont le théorème de M. Tchebychef est une conséquence directe.

3. Pour simplifier l'énoncé de ces inégalités (A) nous introduisons deux fonctions F(a;), G{x) de la manière suivante. Soit d'abord

v{x)=fnz)d

Écrivons pour simplifier

>) Soit

F (ï) = Co Xo + Cl Xj + c, Xj + . . .

— 1 gig+1 le développement d'une fonction quelconque suivant les polynômes X», alors la différence

F (ï) — (co X(, + Cl X, + . . . + c-i*^»-!) change de signe au moins n fois dans l'intervalle (— '1 , + i)-

et définissons maintenant la fonction G(x) dans l'intervalle (o, b) de la façon suivante :

Q{x) = 0 de a; = a jusqu'à x = Xi,

G(a;) = Ai de x = x^ jusqu'à a; = 0:2 >

G (ic) = Aj + A2 de rr ^ a;2 jusqu'à a; ^ a% ,

G(a;) = Ai-}-A-24-- • ■ + Am-i de x = a;m-i jusqu'à x = Xm, G (x) = Al + A2 + . . . + A m de x = Xm jusqu'à x=:b.

Il est clair qu'au lieu de (A) on peut écrire plus simplement

(A') Q(Xk-\-e)>F(Xk)>G{xic — s) k = l,2, ...,m

e étant une quantité positive et suffisamment petite

F (x) est une fonction croissante ou mieux non décroissante car c'est ainsi qu'on doit l'entendre toujours dans la suite. De même G (x) est une fonction croissante mais ses accroissements se font par des sauts brusques. Les valeurs extrêmes de F(x), G (a;) sont les mêmes, en effet

F(a) = 0, Y{b) = fnz)dz = a,

si l'on pose

(n • aH = fz''nz)dz,

et

G(a) = 0, G(6) = Ai + A2 + ... + A„ = ao

car on a comme l'on sait

(2) . . Aia;î + A2a;2+ . . .4-Ama;m = aA pour A: = 0, 1, 2, ...,2 m— 1.