Notre point de départ sera la formule (15) où nous posons

n — k^=m — l=;i et a = /< + '?

en sorte que

en désignant par « une quantité positive et infiniment petite.

D'après les résultats obtenus p, 14, n" XLIX on a immédiatement cette expression asymptotique

+ U0'' 24'' +72'' 24*^ + 288 '' + 6048;/^2 + •••• On en conclut que la valeur de t] qui donne S„ = 0, est susceptible d'un développement

/À fi

dont on détermine les coefificients en substituant dans l'expression précédente et en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances

de — . Nous avons posé a = /j.-\- rj, la racine a» de l'équation S„ = 0 est donc égale à

ou , en remplaçant /* par m — 1

m — 1 (m — 1)^ Or, m étant un nombre très grand on obtient le développement

cherché

an-m 3 + 405 rw +5103 m^''"--

(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)

Sur certaines inégalités dues à M. P. Tchebychef,

1. Dans le Journal de Liouville (2® Série, t. 19, 1847) dans un mémoire „Sur les valeurs limites des intégrales" M, Tchebychef a énoncé sans démonstration la proposition suivante

" '^JzS ^^^ ""^ ^^ iractions convergentes de / x ' ^^^ °"

trouve en développant cette expression en fraction continue 1 1

et que

2^1» 22,..., Zj, Zi-j-i,..., Zn — lfZn,---, Zm

soient les racines de l'équation

rangées suivant leur grandeur : toutes les fois que f{x) reste positive entre les limites z = a, z = b, la valeur de l'intégrale

f'nz)dz

surpasse la somme

y(gt+i) | yÇ-gj+a) , , y (g» -2) , y(gn-i)

tp'{zi + i) "•" yj'{zi + 2} ■" ■ ■ ■ ' v'(«„2) rp'{z„-i)

et reste au-dessous de celle-ci

99 {Zi) . (pjZi + 1) . I y(gn-l) I <P {Zn) "

M. Markoff a publié le premier une démonstration de ce théorème dans

le mémoire „Sur certaines inégalités de M. Tchebychef " (Mathematische Anaalen , t. 24. 1884).

Ayant retrouvé de mon côté et indépendamment ce théorème, j'en ai donné aussi la démonstration dans un mémoire „Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites mécaniques." (Annales de l'Ecole normale, 3® Série, t. 1. 1884). Cette démonstration ne difFère pas de celle donnée par M. Markoff, je me propose maintenant d'en présenter une autre.

2. Le principal fondement de la nouvelle démonstration est le lemme suivant , qui certainement n'est pas nouveau , mais dont les développements suivants montreront mieux toute l'utilité.

Lemme. „Si la fonction F (x) satisfait aux m relations

x''Fix)dx = 0, A; = 0, 1,2, ...,wî — 1

alors la fonction F(x), si elle n'est pas constamment égale à zéro dans l'intervalle (a, 6), change de signe au moins m fois dans cet intervalle." Il est clair que F {x) change au moins une fois de signe dans l'intervalle (a , 6). Supposons que le nombre total l de ces changements de signe soit plus petit que m , donc

l^l^m — 1 il faut montrer que cela n'est pas possible. En effet soient

Xi , X2 , . . . , Xt les valeurs de x pour lesquelles F{x) change de signe, et posons

f(x) = (X — Xj) {X—X2)...{X — Xl).

Il est clair alors que

nx)F{x)

conserve constamment le même signe dans l'intervalle (a, b). Or f{x) étant un polynôme du degré m — 1 au plus, on devrait avoir d'après les conditions imposées à la fonction F (x)

" f{x)F(x)dx=0

ce qui est impossible. La supposition l < m est donc inadmissible et le lemme est démontré.

Ce lemme se trouve déjà en germe dans une démonstration donnée par Legendre relative aux racines de l'équation X„ = 0. On sait que

/ a;*X„dx = 0, A = 0, 1, 2, . . . ,n— 1

■—1 donc X„ doit changer de signe au moins n fois dans l'intervalle ( — 1, + 1). Mais X„ étant un polynôme du degré n, on en conclut que les racines de Xn = 0 sont réelles, inégales et comprises entre — 1 et + 1.

Cette démonstration ne diffère pas au fond de celle de Legendre, mais en la présentant de cette manière , on met plus en évidence le véritable nerf du raisonnement ').

Mais ce lemme, nous allons le voir, conduit encore delà manière la plus simple aux inégalités de M. Tchebychef, ou plutôt aux suivantes