II. La forme
JL'LaikXiXk
se décompose directement dans la somme de deux ou de plusieurs formes quadratiques.
Alors les variables
se décomposent en plusieurs groupes. Soit
le groupe dans lequel se trouve x^.
Le système (!') se décompose en deux systèmes relatifs aux deux groupes de variables
X2, X^, • . . , Xn,
Xn-\-\i • • • 1 ^m
et on voit qu'on aura:
X2<0, x<i<0, ..., Xn<0,
a;„4-i = x„ + 2 = . . .^Xm = 0.
La relation
permet donc de conclure:
Réciproquement, si les conditions (b) sont vérifiées et qu'en outre on a identiquement :
mm n n mm
■ E ^UikXiXk^'^ ^aikXiXk-{- ^ 1. OikXiXk
alors le système des valeurs de 0:2, ajg, . . . , rCm tirées des équations (1'), joint à la valeur a;i = 0, satisfait au système (1) et l'on a par conséquent Dii = Di2- Pour le montrer il suffit évidemment de vérifier la première des équations (1), ou bien l'équation obtenue en prenant la somme des équations (1). Or cette dernière
*1 '''i 1 ^2 *^2 ~r • • • "T ^»» '^ni ^ 0
se trouve vérifiée évidemment.
Nous avons supposé ici n < w, pour w = w on rentre dans le premier cas; et l'on a le résultat suivant.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que
consistent dans ce que , pour une valeur spéciale de n
2 ^ n ^ m on ait
et
I «2, n 4- 1 ^ 0^2, n + 2 = • • • = «2, m = 0 , ps,n + l = (l3,n + 2 = • • •=Cl3,m = 0,
\On,n + l = «n,n + 2 ^ . . . = an,m=0.
Dans le cas w = m les conditions (II) disparaissent.
H. Supposons les conditions (I) et (II) remplies, il n'est pas permis de conclure que les valeurs de x.,, . . . , Xn sont négatives, car la forme
2 I,aikXiXk
pourrait encore être décomposable. Mais si cela eut lieu , il est clair que les conditions (I) et (II) seraient encore satisfaites pour une valeur plus petite du nombre n.
Si donc nous supposons que n soit le plus petit nombre pour lequel les conditions (I) et (II) sont satisfaites , on aura
X2<0, OCs<0, ..., Xn<0,
X„+l = X„+2 = .. .=Xm^=0
et à cause de
J) Xi = 'Dii — D21
nous pouvons donc ajouter :
la condition Dii = Di2 entraîne nécessairement les relations
Dii<D2i pour î := 2 , 3 , . . . , n,
pour i > n.
Note.
Après avoir terminé la rédaction de cet article , je viens de prendre connaissance d'une note Sur les racines de certaines équations par M. A. Markoff, (Mathematische Annalen , T. 27 , p. 177). L'auteur y déduit d'abord la limitation des racines de l'équation Xn = 0 déjà obtenue par M. Bruns, et ensuite il obtient aussi et pour la première fois , la limitation plus étroite (B).
La démonstration que j'ai donnée est différente de celle de M. Markoff, mais une seconde démonstration à laquelle j'ai fait allusion seulement dans le n". 5, ne diffère pas au fond de celle de cet auteur.
