f°° e-"*" Aida; = Aje
ou
Il est facile de voir maintenant que les parties que nous avons négligées,
r-"^^^^e~^^dv et r i^ll^e-'^'d.. J 1 — v J 1 — V
n'ont, en effet, aucune influence sur le développement de R„ suivant les puissances descendantes de n. En effet, dans la première intégrale, la plus'grande valeur de ve -" est égale à &e~^, Q étant une fraction positive, inférieure à l'unité. On en conclut
et la fraction 0" décroît plus rapidement qu'aucune puissance négative de n. Quant à la deuxième intégrale, en posant v=\ -\-u, on voit qu'elle est inférieure en valeur absolue à
^ P(l + M)»e-»«e-''"dM.
Soit r la quantité positive supérieure à l'unité, qui satisfait à la relation
alors on a évidemment
1 + M<c'' pour M > A; et , par conséquent ,
f'"(ï-\-u)''t-"»e-'!" duK-," r e ""\ ^i ''"du.
Le facteur qui multiplie g-" décroît encore plus rapidement que toute puissance négative de n, et, ainsi, l'équation (6) fournit le développement cherché
ou
On en conclut que la valeur de rj, qui donne R„ = 0, est susceptible d'un développement
dont on détermine les coefficients en substituant dans l'expression pré cédente et en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de
— Nous avons posé a = n -\-i], et la racine de l'équation R„ = 0 est donc égale à
d'où l'on déduit encore
4. Pour juger de l'approximation avec laquelle nous avons résolu ainsi l'équation R„ = 0, nous mettons en regard l'une de l'autre la valeur approchée donnée par la formule (8) pour n = 1 , 2 avec la
valeur exacte de a, calculée à l'aide du développement
li(.a) = 6 + loga + -«^, + 2^+3^ + ...
n. Valeur exacte.
On voit que l'approximation obtenue est beaucoup plus grande que cela n'était nécessaire.
En nommant toujours N la valeur approchée de la racine de R„ = 0. nous résumons ainsi le résultat obtenu :
Valeur approximative.
Erreur.
li(e'') = e'
la.i 4. I l-2...(«-lJ
xr 1 8 , 16
Ordre d'approximation e "'* [/
Nous avons ajouté comme ordre d'approximation une valeur approchée du premier terme qui donnerait une valeur trop grande. C'est donc en même temps la limite de l'approximation que peut donner la série semi- convergente, dans le cas où l'on n'a pas recours au calcul approché de Rn- En multipliant par e", on voit qu'on obtient 11 (e")
avec une erreur de l'ordre 1/— •
Soit , par exemple ,
On doit donc prendre vingt-deux termes de la série et ajouter encore le terme suivant multiplié par A = 0,692, d'après le procédé que nous avons indiqué dans l'Introduction. On trouve ainsi
En prenant
on obtiendra une exactitude un peu plus grande en calculant ÏI23 par la formule (7); nous obtenons ainsi la valeur exacte
Remarquons que l'emploi de la série semi-convergente présente ici un avantage réel sur l'emploi de la série convergente
car, en calculant vingt- trois termes de cette série, on est seulement arrivé au plus grand terme , et il faudrait pousser beaucoup plus loin le calcul pour obtenir l'approximation donnée par la série semi-convergente.
5. La méthode qui nous a permis de résoudre par approximation l'équation transcendante E„ := 0 nous sera encore très utile dans la suite; mais nous ne pouvons passer sous silence que dans le cas actuel on peut donner une autre forme très simple au terme complémentaire R„. Cette nouvelle forme va nous donner aussi une autre méthode pour calculer les coefficients du développement
On a , en supposant 0 < 6 < a,
et une intégration par parties donne
li (e») r= e«
(10) n„=l.2.S.. .n.e-» f ^du,
On étant une constante qu'il faut encore déterminer. Mais il est évident que On n'est autre chose que la valeur de a qui annule R,j, et que nous savons calculer avec une grande approximation par la formule (8)
/ii\ I 1 I 8 184 .
La relation
Rn — 1 = T„ -)- R„ revient maintenant à
d'où, pour a = an,
En posant u = n-]-v, il vient, après une légère réduction,
en écrivant
(■ + 1/ (■ + ff
En développant maintenant les deux membres de (12) suivant les puissances descendantes de n, on obtient d'abord
puis
En substituant pour p et g leurs valeurs (13), on obtient d'abord, par identification du coefficient de — dans les deux membres,
La comparaison des coefficients de -g, -g, ... permet ensuite de
calculer sans ambiguïté par des équations linéaires les coefficients /ôj, II 2
/Sg Nous avons retrouvé de cette manière les valeurs déjà données
de p^ et /Sg.
6. La considération de la fonction li (a), pour une valeur de l'argument inférieure à l'unité, conduit à une série de première espèce. On a
et l'on obtient, par une intégration par parties ou par le développe
ment de -. — j — ,
(14) . Ii(e-'') = — e-«
R„= 1 .2.3.. .ne» / — zr^rr = — t~,
Cette série ne donne lieu à aucune remarque particulière ; en posant a = n-j-»?. on peut développer R„ suivant les puissances descendantes de w, à l'aide des méthodes de Laplace que nous avons déjà appliquées dans le cas de li (e"); on trouve
+ (ï6'''-24'''+i2'^'+24'' + 576)i+-- Ce développement présente la plus grande analogie avec la formule
(7); dans les deux cas, e"" 1/ — est la valetir asymptotique du terme
T„; mais ici R„ ne s'évanouit pas pour une valeur finie de ?;, et le premier terme ^ de la série se retrouve généralement dans le cas d'une série de première espèce.
On déduirait sans peine de cette expression de R„ la solution approchée de —5 — = 0. Le résultat est an
ou
faa
Etude des intégrales / -r—r--^du. / -r— i — ^a
/g au t j-j— 2 dM. Au lieu d'intégrer le long de
l'axe des X, de 0 vers A (Fig. 1), on pourra effectuer l'intégration en suivant le chemin OBCA, en ayant soin d'éviter le point i en le laissant
Fig. 1.
à gauche , ce qu'on pourra faire en décrivant autour de ce point un demi- cercle dont nous supposons le rayon s infiniment petit. Cette partie de l'intégrale s'évalue à
U + ilu = i ^Ju-i~'2T^'''~ 2
Les intégrales le long de BC et CA tendent évidemment vers zéro lorsque A et B s'éloignent indéfiniment , en sorte qu'on obtient
donc
^oo e-aV(l^
/lov r"^ f*in an du ri-s «-""dv , f
On trouve d'une manière semblable , ou en prenant la dérivée de (16)
aO RECHERCHES SUR QUELQUES SÉRIES SEMI-CONVERGENTES.
par rapport à a,
/"^ucosaudu r^-^ ve-"^ dv . r'^ve-'^^dv
En employant dans le second membre de ces formules l'identité
*■ <I.QI I0« Ol ^
il vient
sin au ^^, 1 j 1 .2 j^ , 1 .2...(2n — 2)
-!£ ^2ng — av /•<»^2ng — o»
rl — e j^2Mg — ot> /•<»^2ng — o»
,,, /-«'McosaM , 1,1.2.3, , 1.2...(2n— 1) , ^
Nous devons maintenant obtenir d'abord le développement du terme complémentaire suivant les puissances descendantes de n.
