Envisageons maintenant un nombre oa quelconque et posons

2 = ttkU,

92 EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE.

M étant réelle et positive. Le point P qui représente z se trouve alors sur le rayon OPa- En faisant tendre u vers l'unité, en croissant continuellement, le point P s'approchera indéfiniment du point P* de la circonférence C.

On a, d'après (1),

i\' ^ n^\a^ — aku] ou bien

en posant

^^ -^ n^\a„—akuj'

Dans l'intervalle 0 ^ m ^ 1 , la fonction F] (m) est évidemment finie et continue; nous allons voir qu'il en est de même de F., (u). Remarquons pour cela d'abord que

\an — aku)— mod (a„ — ak) Pour le mettre en évidence, joignons par des droites le point P„ qui

représente a„ avec 0, P et P^ et posons PtOP» = g?.

A cause de m ^ 1 , on a

4 «2 sin^ Iv^i^ -\-uf sin^ ^cp -\-{l — uf cos^ ^ 95 = 1 — 2 m cos 93 + m^ ; donc

Kl — 2m ces 95 + «2 - 2 sin ^ 95 Mais cela revient à la limitation indiquée , car modaftM = OP ^u,

mod(a„ — tt/cM) ^PPn =Vl — 2Mcos9'4-w^ mod(a„ — Uk) =PnP* =2sin ^93.

Dans la série F, (m) , l'indice n est plus grand que ft, et , à l'aide de (3),

on trouve , par conséquent ,

, 1 / UkU \ ^ 2 mod —„ < — s ,

EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE. 93

et cela dans tout l'intervalle 0<m< 1. La série T^ „ étant conver-

gante, on en conclut, d'après un théorème de M. Weierstrass (voir Tannery, Théorie des fonctions d'une variable , p. 135) , que la série

-^ n^ \a„ — ak ul

est absolument et uniformément convergente dans l'intervalle 0 ^m^ 1. La fonction Fg (m) est donc finie et continue dans le même intervalle, et lorsque u tend vers l'unité , Fj (m) et Fg (m) tendent vers les valeurs finies Fi(l) et FaCl). En posant Fi(l) + F2(l) = A, l'équation (4) nous montre donc que

lim

.^(«''«)-|afr^)

On voit par là que , lorsque la variable z s'approche indéfiniment de la valeur a^en conservant constamment le même argument que ak, alors la partie réelle de

est positive et croît au delà de toute limite Au contraire , la partie purement imaginaire de f{z) tend vers une limite fixe.

4. Soit maintenant («q, Pq) un point quelconque à l'intérieur de C ; on a

et le domaine de convergence est un cercle Cq décrit de Pg comme centre avec un rayon au moins égal à 1 — mod s„

Mais il est impossible maintenant que ce rayon soit plus grand que 1 — mod^fQ, de manière que l'intérieur de Cq tomberait en partie en dehors du cercle C.

En effet, dans cette supposition une partie de la circonférence de C se trouverait à l'intérieur de Cq. Prenons un point {ak, '^k) sur cette partie de la circonférence C (il y en a une infinité). La valeur de f{z) devrait être finie pour z = ak et, lorsque le point z s'approche de P suivant le

94 EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE.

rayon vecteur, la valeur de f{z) devrait tendre vers cette valeur finie de/" (ai).

Mais nous savons que cela n'a pas lieu , la valeur de f{z) ne tend pas vers une limite finie , parce que sa partie réelle croît au delà de toute limite.

En considérant la fonction f{z) , le cercle C forme donc bien la limite naturelle pour le domaine de la variable z. Il est impossible de continuer cette fonction en dehors de ce cercle.

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3,6, 1887, 210 — 215.)

Note sur la multiplication de deux séries.

Supposons qu'on ait deux séries convergentes

< = Vj + ^2 + Vg -I- . . . .

Lorsque ces deux séries sont absolument convergentes , on sait que la série 'LUaVp formée par les produits deux à deux de leurs termes, écrits dans un ordre quelconque , sera absolument convergente et égale à st (Jordan, Cours d'Analyse, t. I, p. 110).

Dans la suite , nous supposons que la série

< = Vj + ^2 4- Vg 4- . . .

est absolument convergente ; mais quant à la série

nous ne supposerons rien de plus que sa convergence.

Dans ces conditions, la série l^u^vp n'est plus nécessairement absolument convergente , et par conséquent il faudra préciser l'ordre dans lequel on effectue la sommation.

Écrivons pour cela les termes UaVp dans le Tableau suivant

Ml V,

■l^il

M,Vi, ...,

UiV^, ...,

OU, plus simplement, en indiquant les termes UaV^ par des points

Traçons maintenant dans ce Tableau (A) une courbe C qui est coupée en un point seulement par une droite horizontale , et prenons la somme de tous les termes u„v^ qui se trouvent du même côté de cette courbe que Mi^i.

Si maintenant la courbe C se déforme d'une manière quelconque en s'éloignant indéfiniment, mais à la condition d'avoir toujours une seule intersection avec une droite horizontale , nous aurons fixé par là l'ordre dans lequel on doit prendre les termes de la série 2 u^ v^. Nous allons faire voir qu'on a alors

l,UaV^^ st.

Soit L la limite supérieure des modules des sommes

et e„ la limite supérieure des modules des sommes

Mn + 1 + Mn + 2i

Mn + 1 + Wn + 2 + Mn + S)

Mn + 1 + Mn4-2 + M„+3 + Mn+4,

Alors L est finie et e„ converge vers zéro en même temps que - , parce

que la série s = m, + m., + «3 + • • • «st convergente.

Soit enfin r)n la limite supérieure des sommes

mod î; n + 1 .

mod VnJri + mod v„-|-2,

mod Vn + i + mod Vn+a + mod Vn+s,

Comme nous admettons que la série

T = mod Vj + mod V2 + mod v^-\- . . .

est convergente , >?„ converge encore vers zéro en même temps que Posons maintenant

S„ = Ml + «2 + ■ . • + W„ , tn — V^-\-V,2,-\--..-\-Vn,

et prenons dans la série "LUaV p un nombre de termes assez grand pour y retrouver tous ceux du produit Sntn- La courbe C enveloppera alors le carré

'fa'i

Vn

et, si nous prolongeons le côté horizontal inférieur jusqu'à l'intersection avec C , nous aurons