SUR L'ÉQUATION D'EULER
OÙ
et
S = tto O4 4 «1 flg -}- 3 ttj
•si
sont les invariants de '^ = a^cd^ -\- ia^a? -\- . . . -\- a^.
Alors on sait , d'après une propriété connue des déterminants (ou des formes quadratiques) , que le premier membre de (a) est un carré parfait. Ainsi la relation entre a; et «/ se réduit dans ce cas à une équation de cette forme
p-\-q{x-\-y)-]rrxy ou
relation qui doit toujours satisfaire à l'équation différentielle.
On obtient ainsi, correspondant aux trois valeurs de m, trois substitutions linéaires qui transforment en elle-même la différentielle ellip-
d T tique ^j^^. On voit que cette détermination n'exige pas la résolution
de l'équation X^O.
Pour w = oo, l'équation (a) se réduit à {x —yf-=Q et l'on obtient ainsi la quatrième substitution linéaire x — 2/ = 0, qui transforme en elle-même la différentielle elliptique. Les trois autres peuvent s'écrire
«2 -|- ni
xy 02 — 2 m m étant une racine de l'équation cubique.
4. Considérons encore le premier membre de (a). En posant x = y et changeant de signe, on trouve facilement
= H + mX,
SUR l'Équation d'euler. 187
H = {uq «2 — »i) ^* "I" • •• étant le hessien de X. [Voir aussi Darboux , Journal de Liouville, 2« série, t. XVIII , p. 220 •).]
Si l'on détermine encore m par l'équation cubique, H -j- wiX devient un carré parfait, et l'on a, par exemple,
Va -\-mK =
^0(^02 — af 4-"o"^
1 «0 Oj
— X tti «2 -|- m x^ «2 — 2 m flg
Il est clair par ce qui précède qu'on peut énoncer cette proposition: Soit
aa^-{-2fix-\-Y
un polynôme du second degré, qui ne diffère que par un facteur constant de Va -f w X.
Alors , en posant
axy-\-p{x-^y)-\-y = 0,
on aura une substitution linéaire qui transforme en elle-même la différentielle elliptique ^/^ ■
5. D'après ce qui précède , le premier membre de (a) changé de signe devient égal à H -|- m X en posant x=:y. Or soient h et f les secondes polaires de H et de X respectivement , h-\-mf sera une expression doublement quadratique et symétrique en ic et 2/, et qui se réduit à H -f m X pour x = y.
Mais d'après une remarque due à M. Halphen et qu'on vérifie directement, deux expressions doublement quadratiques et symétriques en X et y, qui sont égales pour x=:y, ne peuvent différer que par un terme l{x — yf.
') Nous profitons de cette occasion pour signaler les corrections suivantes: dans les valeurs de H et de K, formule (7) page 221, il faut remplacer partout Y par —Y, et page 223, ligne 7 en descendant, il faut faire le même changement. Ces corrections ont aussi une légère influence sur les art. V et VI du Mémoire de M. Darboux.
