Le premier terme du développement de log .. 2;ra» étant
ei-2jrov ^ nous considérons d'abord au lieu de R„
o»j , en posant na = n-\-ri,
nS„= 1 ^, K e-^i^dvi- f ^, '„ e-^vvdv. J 1 — V ' J 1 — v^
Le développement de S„ n'est plus à trouver, nous pouvons 1 écrire aussitôt d'après le résultat que nous avons obtenu dans le n" 8. En conservant seulement le terme principal , il vient
Nous avons à évaluer maintenant l'erreur qu'on commet en prenant S„ au lieu de Rn. Pour cela, nous développons en série le logarithme;
le A; -f- 1'^™® terme donne lieu à cette partie de R„
1 /"» ^2n g — 2;io(* + l)t)
dw.
En développant
, = l+v2|___|^2«fc-2^
,2nk
on trouve
, r (2WA:4-2W— 1) , r^ y2nik + l)g-Av -,
en écrivant , pour abréger,
2 7ia(k-{-\) — A.
Les termes diminuent d'abord et l'intégrale est de l'ordre du dernier terme. C'est ce qui résulte, en effet, de la discussion que nous
/' ^ sin CL Ht avons faite de la série semi-convergente pour / i^T^ ^ " (^^^ ^)- ^^
quantité à évaluer est donc positive , mais n'atteindra pas n k fois le
premier terme ou
nk r(2w4- 1) 71 (A +1) A2« + i
En remplaçant r (2 w + 1) par sa valeur asymptotique
on trouve , à cause de n a ^= ti -\- rj ,
nk Vnn
7t(A;4-l)2«+2 na
ou
e{n-\-ri)
si nous remplaçons na par n, (~4~) par e~'^^
nk
g — 2 jro
La somme des termes négligés ne surpasse donc pas
ou
T.e-2îrol/-i-,
* I' nn
T étant une fonction qui converge vers 1 pour w = oo .
On voit que le facteur qui multiplie e-2;ra 1/ — décroît plus rapidement qu'aucune puissance négative de n; d'où l'on conclut que, pour développer R„, suivant les puissances décroissantes de w, on doit s'en tenir à S„, les parties négligées n'ayant aucune influence sur ce développement. A l'aide du n^S, nous obtenons maintenant
On en conclut la solution approchée de l'équation R„ = 0 par l'une ou l'autre des formules
(41) n=7ta-{-^ — f-.
La série étant composée des mêmes termes que ceux de la série de Stirling, l'indice du plus petit terme sera encore, d'après M. Bourguet,
le premier nombre entier supérieur à Tta -f 4" + s^r— • On voit donc que le changement de signe de R„ s'opère dans le voisinage du plus petit terme, comme cela arrivait aussi dans les autres séries de seconde espèce que nous avons étudiées
17. Pour avoir une idée de l'approximation avec laquelle nous avons résolu l'équation R„ = 0, nous avons pris n = S dans la formule (40),
ce qui fournit cette valeur approchée de a , qui est un peu inférieure à l'unité a = 0,9300. (En prenant w=l, 2, on serait conduit évidemment à des valeurs de a beaucoup trop petites pour songer à appliquer la série semi convergente.) Pour résoudre l'équation R3 = 0 rigoureusement, il nous faut un moyen de calculer & avec exactitude. Pour cela , nous remarquons que la série bien connue
logr (X) = — \ogx - Q X -\- l S^x^ — l SsX? + ^S^x^ — . . .
donne, en remplaçant x par ai,
6> = -|-6«-f JS3a='-iS,a6+iS,a^...
Pour augmenter la convergence, nous écrirons
0 = ■ — - — arc tang a-\- (i — 6) a
L'équation à résoudre étant
-o 1 ni] 1
0 = a log a — a — ^nr. ~ ■
nous trouvons que la racine est comprise entre 0,9276 et 0,9277. L'approximation est très suffisante; même pour a = 1, la formule (41) donne la racine de R„ = 0 par rapport à n, avec une erreur inférieure à 0,01. Nous résumons ici le résultat que nous avons obtenu :
r(oi) = Re^S
(gn o — e — "") '
N = 7ra-f — —
e~ 2ita
Ordre d'approximation — î7=~'
n Va
Pour a = l, N = 3,22; en appliquant le procédé indiqué dans l'in-
troduction , il vient
On obtient deux limites en prenant ^ = 0,^ = 1; la valeur ^ = 0,22 donne une valeur plus approchée
La valeur exacte est
18. Supposons que la variable z décrive la partie positive de l'axe imaginaire, alors nous pouvons indiquer comment se comporte la fonction holomorphe yrpv- En effet , ayant frr~[\ ^^ r" *~ ^'' r^ ^*- — ® sont
les coordonnées polaires du point qui représente „ > .. , et nous voyons
que ce point décrit une spirale , le rayon vecteur se mouvant dans le
sens négatif et croissant rapidement. L'angle de la courbe et du rayon
vecteur, dont la tangente est à peu près égale à — log a, tend vers 90°.
Nous avons dressé la petite Table suivante pour faire connaître la forme de la courbe dans le voisinage de l'origine:
L'angle — 6 commence à croître de 90° jusqu'à un certain maximum , dont voici la détermination
SX
Après avoir dépassé ce maximum , l'angle — 0 décroît constamment.
19. D'après ce qui précède, il est permis de changer a en ai dans la série de Stirling; en arrêtant la série à son plus petit terme, l'erreur est du même ordre que ce terme. L'examen des conditions sous lesquelles on peut se servir de cette série pour des valeurs imaginaires quelconques de la variable se présente naturellement , mais nous ne l'aborderons pas. Nous rappelons seulement que , dans le Tome 56 du Journal de Crelle , M. Lipschitz est arrivé au résultat suivant
logr(.)=^log2. + (^-i)log^-^+oV.— •^(2^-lf2«.^"-^^^'
... -a Bn + l e -\- e' i
z-a-\-ot, ^"-(2n + l)(2«-f 2) a2»+i'
e et e' restant compris dans les limites ± 1. On suppose de plus que la partie réelle de 2, a est positive.
Comme on le voit, cette limitation de R„ devient complètement illusoire lorsqu'on fait tendre a vers zéro ; mais M. Lipschitz n'avait pas à s'occuper du cas o := 0 , et la limitation du reste auquel il s'est arrêté suffisait pleinement pour le but qu'il s'était proposé, qui était tout autre que celui de vouloir déterminer avec exactitude quels services cette série pourrait rendre pour l'évaluation de log r(2:).
Etude des intégrales de l'équation différentielle d^z , 1 dz
da? a da
20. Nous rassemblons ici quelques-unes des formes principales sous lesquelles on est arrivé à présenter les intégrales de cette équation différentielle. On trouve d'abord cette intégrale , qui est holomorphe dans tout le plan ,
Kl— m2
Une autre intégrale est de la forme
J(a)log(a) + E(a),
R(a) étant holomorphe dans tout le plan, et, intégrant l'équation différentielle par des séries , on trouve cette seconde intégrale
(l -^ + 22742 -•••) log« + |-2 - 22^ (1 + J) +2^^:6^ ^^ + ^ + *^ ~- • •
En désignant par rpix) la dérivée de log r(x), l'intégrale générale est donc
[log a — V (w + 1) -f v (1)];
mais la seconde intégrale dont nous nous occuperons est celle-ci
2 r'" cos au
Km2 i
du.
Cette définition n'a un sens que lorsque a est réel. Pour opérer la continuation de cette fonction pour des valeurs imaginaires de l'argument, nous considérons, en supposant a réel et positif, l'intégrale
Ï^T— du. On peut remplacer le chemin d'intégration OABC (Fig. 2).
Fig. 2.
AB
par une intégration suivant la partie positive de l'axe des y, transformation analogue à celle dont nous nous sommes servi dans le n° 7.
En supposant Vu^ — lz=-^i à l'origine , on obtient
—==- dv=: — - du 4- / ,, du ,
et la comparaison des parties réelles et imaginaires conduit à ces formules
(47) . . . K (a) = — , , du / , ^ du,
.' "J Kl 4- «2 ^J Kl— «2
i.a^ T/ ■. 2 /•«" aia au .
La relation (47) permet de continuer la fonction K («) dans toute la moitié du plan où la partie réelle de la variable est positive. On vérifie aussi directement que les intégrales
^00 e-'^^'' , r^ sinoM ,
; du, / - du
J K14-M2 ' J Kl— «2
satisfont l'une et l'autre à l'équation différentielle
^j l ^4 —A da2 "*" o da a
et que , par conséquent , K (a) est bien une intégrale de l'équation différentielle proposée.
En supposant toujours a réel et positif, nous tirons de l'équation (47)
(49) . . . .K(ai) = — ~ dU" / du.
' ^J K1 + m2 ^J Kl — «2
Pour simplifier, nous remarquons que l'on peut, dans l'intégrale
/g a M 1 j-7====dM, remplacer le chemin d'intégration OA par OBCD (Fig. 3).
On obtient ainsi
-00 /iOU» A o — au /-oo o — au
-00 gou» /•! g — au /-oo g — au
/ . ^ du = i - ^ - du 4- , ,- I
J Ki+m2 j Vi—ui 'J Km2 1
En changeant i en — i et substituant dans (49), il vient
,1 gou I g — au 2 r'" II — au
K(ai) = / ,,~ -du A / du,
c'est-à-dire
(50) K {ai) = — iJ (ai) + - T J^^ du.
Fig. 3.
21. Nous nous arrêtons un instant à la détermination des valeurs qu'il faut attribuer dans l'expression de l'intégrale générale (45) à A et à B pour retrouver la fonction K(a). Cette détermination de A et B a été donnée par M. H. Weber dans le Tome 75 du Journal de Borchardt. On peut l'effectuer aussi très simplement ainsi qu'il suit.
D'après la définition, on a
^TT I /"° cos vdv r^ cos vdv . /"^ cos v dv
2^^^'-J y^^^-J v^^^'^j VW^^
et
r^ coavdv r^ dv /"^ 1 — cos?; ,
J Vv^—a^ ~J |/î,2^r^ ~J VW^W
-J K (a) + log a = log (1 + Kl - a^) -j donc
1 1 — cos V
Vv^-
dv + j
'"^ cos V dv
Vv^-
Lim
1 1 — cos V
5K(a) + loga =log2-/' ^"^"^^zp + f
* Jo=0 J V J
"" coavdv
Le second membre est égal à log 2 — 6 , (S désignant toujours la
Vf - ^ ces vdv = r (p) cos "^ ou
^00 i-r(p + l)cosÇ / vf~^{\ — co%i)dv — / rP-i cosy d«;=
On en conclut pour p := 0, à cause de r (p -|- 1) = 1 — 6p -|- . . . ,
/•i 1 — cos V , /"" cos V ,
/ dv — / aw = 6.
La relation
(51) Lim ^ K (a) + log o = log 2 — 6
L «^ Jo=o
donne sur-le-champ la détermination des constantes A et B, et il vient» en se rappelant que y>{\) = — 6,
(52) . . •|K(a)=Ç2,^^,[logl+v.(« + l).
En changeant a en ai, il faut remplacer log a par loga-|-"9 *i ^t la comparaison avec (50) conduit au développement
ÎTP^ '^" = Ç 2r4^M2^4^"^ a + -^ (« + 1)
donné par Riemann, de l'une des intégrales de l'équation
d^z , 1 dz oa'^ a da
dont J (ai) est une autre intégrale.
22. On peut changer en intégrales définies les séries (52), (53). En prenant la dérivée par rapport à 6 de la relation connue
2 t M^"-! (1 — K2)f-i du=%})'^ y i^,\ y r (o -f 6) '
il vient , en posant ensuite a = n-|-J, 6 = y, 2/-'„2„log(l-«'),,.,l-3.. {2M-1)
^TS-'''»=^T.!^w"f'"»-'''" + '"
et
donc
J Vl — u^
ri M2n
log — -f V (W + 1)
= ^l y=^,[pii) + ^0g^-l0Sii-U^)
du.
En substituant cette valeur de log — -\-y}{n-\-l) dans les formules
(52), (58), il vient, après une légère réduction, si l'on observe que v(i) = -G-log4,
"2 r+1 cosaM
Kl — m2
[— 6 — log 2 a (1 — u^)']du,
-+ I pau
23. Nous abordons maintenant le développement en série semi-con-
Fig. 4.
j. du dont
la partie réelle est ^ J (a). En intégrant sur le contour fermé OABCDO
(Fig. 4), l'intégrale est nulle. Il est évident aussi que l'intégrale étendue sur CD converge vers zéro lorsque C et D s'éloignent indéfiniment. On voit donc que l'intégrale de 0 vers A est égale à la différence des intégrales sur OD et BC, en supposant que C et D s'éloignent indéfiniment. L'intégrale sur OD s'obtient en posant u:=iv, celle sur BC en posant u = l-\-iv. En ayant soin de donner le signe convenable au radical Vl— u''^ dans le point B, il vient
/l gO«« /"" g — »» (o — — )i Z""" v~ e~ ""
Vl — u^ j Kl + t;2 ^ J V2 4-iv
ou bien, en faisant attention à la formule (47),
(56) .... ei""^)*/ \,J^ dv=^ [J {a)-iK (a)].
On en conclut les expressions suivantes de J(a), K (a) où nous avons posé encore av = u
J{a)— V-,=-— / e-"M~M + ~ \du
y--^ \'' + ra
sin
in(a-|)
cosfa — -^j -00 — i , , — / e~" u~^ 1 '^ — ,"^ \ du.
M. Lipschitz développe maintenant les fonctions réelles 1,1 . / 1 1
t^'-s i/'+i^' i/>-ii i^'+ii
à l'aide de la formule
^(w) = g(0)-f ug'(0) + ...-f-^^ ^^^^g(»-^)(0) + j-^-~^^-g'»'(A»),
X désignant une fraction positive. Il obtient ainsi
e-'u */ — -j \ OM
y^-^: i/'+ii.
l — il e-^u'^l . \ dM
y^-ii )/>-i^.
On voit qu'on obtient ainsi en même temps le développement de J (o) et de K (a). Quant au terme complémentaire R„ , la méthode adoptée par M. Lipschitz lui permet d'établir que la valeur absolue de R„ est inférieure à Tn+i. De même, R^ est inférieur en valeur absolue à T^^.1. On peut resserrer un peu ces limitations, et faire voir que R„ et R^ sont positifs, ce qui entraîne déjà que Rn est inférieur à T„ et à T„ + i, r; à t; et à t;+i. En effet, on a
'^ dv 12 r^ dv
d'où l'on conclut
(61) / e-«M * / -;- -| ==\dM = — / dv 2 ^^>
. „sin*î; 0 0 *«
1 \ , 2 r^ , /•" «-«wisin^t;
(62)-t e-»«-i/-p^= ^=.\d«=-^ dW ^ T du.
En employant l'identité
= i-Y:^sin'v + ...±
1 + ^— is sin* V
on retrouve les séries semi- convergentes déjà données, mais avec ces expressions des termes complémentaires
1 r^ , /•«'«-"«^"-isin''"^ , r^= i dv \ 9 du,
, . . . .î-»M2"~i8in''" (63) • • R« 2^
1 /-^ , /*«'e-"M'^"+4sin*»+2t;,
22„„2„ + ,|/.3/ / l + Jfigi,.,
24. Lorsque a est grand , l'indice du plus petit terme dans chacune des séries semi- convergentes (59), (60) est à peu près égal à a. En posant a = n-\-r], on peut développer Il„ et R; suivant les puissances descendantes de n. Pour faciliter un peu les calculs nous remplaçons u par 2 au, cot^t? par v, en sorte qu'il vient
Lorsque n est grand , ce sont seulement les parties dans le voisinage de M ^ 1 , v = 0 qui ont une influence appréciable , et quand il s'agit d'un développement suivant les puissances descendantes de w, on peut borner l'intégration au voisinage de ce point u^=l, v = 0. Considérons R„ et partageons l'intégrale en deux parties. Dans la première, u variera de 0 à 1 ; dans la seconde , de 1 à c» ,
Dans la première partie, on posera
Me-» = e-i-^', l — u = V2x — lx^ + ^V2a? — ..., l-\-v = e^,
et l'on trouve un résultat de la forme
les coefficients Or,, étant des polynômes en t], et ar,« = 0 lorsque s est impair.
Dans la seconde partie , on posera
Me-" = e-i-'=", u — l=xV2-\- ...,
et l'on trouve cette seconde partie égale à
y^ [ f e-^" e-^^^'^'+'J'^lI. {— ly ar,ax'' yldx dy. La réunion des deux parties conduit à l'expression
et le développement de R„, suivant les puissances descendantes de n, est
En nous bornant aux deux premiers termes , nous avons obtenu
et , par des calculs tout à fait semblables ,
,66) . . .K;=.-KÏ[j+(i,^-l,-l)i...l.
Dans les deux cas , le reste du plus petit terme est à peu près égal à la moitié de ce terme.
25. Considérons maintenant les fonctions J(ai), K(ai). La première conduit à une série semi- convergente de seconde espèce , dont nous
nous occuperons plus tard. Quant à K(ai), à cause de
on voit que nous avons à nous occuper , en ce moment , seulement de la partie réelle
2 fco g-au
Km2— 1
du.
En posant u= l -\- — , on trouve
dv
ou bien
2 ^2 ^oo e-^v-i
— I du I dv.
(07) . . . âl = ^e-«|/
On en déduit , par le développement
=l JLsin2M + ...±(/- sin^n-Swi-M^'/ ,
1 + îT- sin^ u 1 + lï— sin^ «
(68) gl = ^-l/-[l-i;8â + i:2:(8^ — •^1.2...(n-l)(8a)n-^^^"
1 ^2 /'<"e-''î)'»-isin2"M .
Ce développement semi- convergent a été donné par Riemann. L'indice du plus petit terme est à peu près égal à 2a, en posant 2a:=n-{-rj, nous trouvons
