Nous devons nous occuper maintenant de la fonction

-+1 g—av^

iai) = ^f

dv.

En posant v^ — 1 -|- 2 m, il vient

fia ,-1 /j — 2o«

(70) J(ai) = ^f -^==^du,

Le développement de . . = , suivant les puissances ascendantes

de M, conduit sans aucune difficulté à cette série semi-convergente

J(ai) = e"]LJJ- 1 I __i__ 4. __Lli£! 4. * 27ta[ '^l.Sa'^ l.2.{8af^'

donnée par Riemann , maïs on n'obtient point ainsi une expression simple du terme complémentaire.

Pour nous débarrasser du radical Vl — m, nous observons que

J v+l—u Kl— M

en sorte qu'il vient

(71) .... J(ai) = -Ti / V *dv -z j — du.

L'intégration dans le second membre s'étend sur la bande infinie VOAB (Fig. 5) de largeur OA = 1 , et l'intégration , par rapport à tt, ne s'étend que jusqu'à m= 1. Afin de franchir celte limite et de pouvoir étendre l'intégration sur une bande VOCD d'une largeur arbitraire OC = L, nous observons que

v — k^^J v — k^ k ^XkMVk-^

donc

Si donc nous excluons du champ d'intégration la bande infiniment étroite limitée par les deux droites parallèles

nous pourrons étendre dans (71) l'intégration sur la bande de largeur L, VOCD; car, en intégrant d'abord par rapport à v, l'équa-

Fig. 5.

tion (72) montre que les parties qu'on ajoute ainsi se détruisent. En faisant croître L indéfiniment, nous écrivons sommairement

fia /«oo f<c fi — j

(73) .... j^ai) = ^,y.v.ff^

e-2«« dudv + « Vuv '

le sens précis qu'il faut attacher à cette formule résultant des explications qui précèdent.