SUR UNE FONCTION EXPONENTIELLE

la fonction <P (z) étant déterminée ainsi

* (s) = Nj e« + N2 fe'' + N3 6"= + . . . + N„ é" , 0 < z < a ;

*(«)= Nse^ + .-. + Nne", 6<a<c;

Cette fonction $(«), constante par intervalles, n'est pas identiquement nulle, puisqu'elle ne l'est pas dans le premier et dans le dernier des intervalles. Du reste , elle ne s'annule même pas dans aucun des intervalles , puisqu'on peut supposer irréductible l'équation à laquelle satisfait le nombre e.

* {z) ne peut changer de signe que pour

z = a, z=b, . . ., is = 9.

Voici maintenant la détermination de k^, k2, ■ ■ ■ , k„. Je prends

k, = ! î selon que * (z) ! "i ^"^^ ! de signe pour s = a, 1 (0! ^ ^' i ne change pas ) ^ ^ '.■■^ :

( 1 I 1 j / V i change I 1 • .

Ao = selon que ^ (z) \ de signe pour z = b,

^ ( 0 ) ^ (ne change pas ) " '

*„!=!! selon que * {z) \ "^ *"^^ \ de signe pour « = fif ,

( 0 ) ^ ! ne change pas ) °

Je dis alors que l'équation (3) est impossible dès qu'on prend pour fx un nombre pair. En effet, il est clair que, dans l'intégrale

la fonction sous le signe / a un signe constant dans tout l'intervalle (0, h).

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , iio, 1890, 1026 — 1027).

Sur la valeur asymptotique des polynômes de Legendre. (Note, présentée par M. Hermite.)

M. Darboux a donné, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (3® série, t. IV, p. 39; 1878), une formule qui permet d'obtenir une expression approchée de X„ (cos 0) , l'erreur commise étant

de l'ordre d'une puissance aussi grande qu'on le voudra de — Nous avons obtenu le résultat suivant. Soient

O<0<rt, a=6>— ^,

alors on a