La même méthode s'applique à l'équation

q'*(x)-]-7iiF{x) = 0.

Dans ce cas on a sur le cercle C

Q" (œ) + 71 i F (rc) = C a;» (1 + e) ; donc la variation de l'argument sur C est

Mais il faudra prendre maintenant, en allant de — 1+eà+l — e,

X = ^F{x)\oë(\^j-R(x), et en allant de + 1 - e à — 1 + e

x = ~F(x)iog(|-;;t^)-R(x),

La variation totale de l'argument sur C devient nulle, les deux parties se détruisant ; donc l'équation

Q"(x) + «iF(a;) = 0 admet n racines. D'après le théorème de M. Hermite, ces n racines se trouvent au-dessous de l'axe des abscisses ; on peut retrouver ce résultat en évaluant la variation de l'argument sur le contour abcdefga (Fig. 2). La variation est

Sur abc, -\-n Xn,

Sur cd, — -n>

Sur ef, +7iX(« + l),

Sur ga, ~ 2" '

en sorte qu'on trouve n racines à l'intérieur du contour. Les mêmes considérations s'appliquent évidemment aux autres branches de la fonction , et l'on pourrait même déterminer le nombre des racines de

Q»(a;) + A;ïîF(a;) = 0 pour une valeur non entière ou même imaginaire de k.

5. La fonction Q"(a;) peut s'exprimer par l'intégrale de M. Neumann

et l'on peut conclure de là, très simplement, que l'équation Q»(a;) = 0 n'a point de racine. Supposons , en effet (x n'étant pas naturellement sur la coupure),

on i

aurait

aussi

car

F{ufdu

'F(M)dM

et dans le second membre la première intégrale s'annule en vertu des propriétés de F (m) , la seconde en vertu de (3). Or , je dis que la relation (4) est impossible ; soit , en effet ,

on devrait avoir

+1 F (uf

7 ^2 1^:2 (û — u — bi)du = 0.

La partie purement imaginaire ne peut être nulle, à moins qu'on n'ait 6 = 0; mais a; serait réel et, n'étant pas sur la coupure, x — m ne changerait pas de signe , et la relation (4) est encore impossible.

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 9, 1890, 479 — 480)

/oo e-"' du.

M Méray a montré récemment (Bulletin des Sciences mathématiques, 1889) qu'on peut obtenir la valeur de cette intégrale à l'aide de la formule de Wallis. La déduction suivante se fonde sur la même idée, mais on la trouvera peut-être un peu plus simple.

Soit

!„=/" «"«-""dw;

une intégration par parties donne

■In — a — In— 2)

d'où l'on conclut