P = AB

alors il est clair que le nombre N =: A + B n'est divisible ni par 2 , ni par 3, . . . , ni par p. En décomposant donc N en facteurs premiers, on trouvera nécessairement des nombres premiers qui surpassent p.

Remarquons avec M. Cayley que, si l'on prend A = P, B = l, les nombres N -[- 1> N -f- 2, ..., N -|-p — 1 sont tous composés; d'où l'on voit que la différence de deux nombres premiers consécutifs peut surpasser un nombre donné.

18. Voici une proposition dont on a besoin quelquefois. Il est toujours possible de mettre le p. p. c. m. des nombres a, b, c, . . . ,1 sous la forme d'un produit

dont les facteurs sont premiers entre eux et divisent respectivement a, 6, c, . . . , /. Adoptons les notations du n" 16, le p. p. c. m. est

Écrivons les nombres a,b,c, .. . ,1 l'un au-dessous de l'autre. Ecrivons ensuite le facteur /jj' à côté d'un des nombres a, 6, c, . . . , i qu'il divise (un au moins de ces nombres est divisible par pj»). Faisons de même pour p^f . . .p^*. Alors on prendra pour a' le produit des nombres

qu'on aura écrits à côté de a (a' =: 1 lorsque aucun nombre ne se trouverait à côté de a), de même pour b', c', . . . , V.

Il est clair qu'on obtiendra toujours au moins une solution ; elle est unique dans le cas où, parmi les nombres a, 6, . . . , 2, il n'y en a qu'un seul divisible , soit par p\, soit par p^, etc. Dans le cas contraire , le problème admet toujours plusieurs solutions.

19. On peut toujours obtenir une solution , sans décomposer les nombres a, 6, c, . . . , i en facteurs premiers et uniquement à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

Mais , pour abréger, nous nous bornerons au cas de deux nombres a et 6, d'où il est facile, du reste, de remonter au cas général. Soit (a, 6) = d, et calculons

a' et b' seront premiers entre eux , puisque -r et -v le sont ; d sera donc divisible par leur produit, soit

d = a'b' d' et puis

d" = a'" b'" d'", En continuant ainsi , on finira toujours par arriver à un couple

car

d = a'b'd' = a' a" b' b" d" = a' a" a'" b' b" b'" d'" = ... On aura alors

et , pour le p. p. c. m. ,

ab w = — j-> a

m = (^^Xa'a"... a"") X [^ X b' b" . . . 6<*') X d<*'.

Les nombres "j et -v sont premiers entre eux , et , a', a", . . . a<*' étant

des diviseurs de -^, 6', 6", . . . 6* des diviseurs de -v, il est clair que les deux facteurs

-^ X a' a". . . a<*' et - Xb'b" ... 6(*) d d

sont premiers entre eux. Ensuite d'*' est premier avec chacun de ces facteurs, car

En prenant donc

B = -^-X6'6"...6<*'Xd(*), d

on aura m =: AB , A et B seront premiers entre eux , puis A divise a et B divise 6. Plus généralement, si l'on a d<*' =pç[, p et g étant premiers entre eux , on pourra prendre

A = ^ Xo'a"...aWXi5,

. B = ^Xb'b"... 6<*> X q.

Si l'on suppose a et 6 décomposés en facteurs premiers , on verra facilement que

jXa'a"... a<*'

est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent dans la décomposition de a avec des exposants plus grands que dans la décomposition de ô, tandis que d'*' est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent avec le même exposant dans les décompo-

sitions de a et de b. Lorsqu'on a d<*' > 1 , on obtient toujours deux solutions au moins , en prenant soit p = l, qz= d<*' , soit p = d**' , g =: 1. Mais, dans ce cas, il peut arriver que le problème admet encore d'autres solutions , et cela a lieu lorsque d^ est divisible par plus d'un nombre premier. Mais, pour obtenir ces solutions, il faut absolument recourir à la décomposition de d**' en facteurs premiers : l'algoritrime d'Euclide seul ne peut pas les faire connaître.

20. En jetant maintenant un coup d'oeil sur le chemin que nous avons parcouru , on reconnaîtra que la théorie de la divisibilité des nombres repose sur ce fait, qu'étant données deux nombres a et 6, on peut toujours déterminer un nombre m, tel que

a=:mb -\-c, où

Si l'on considère les nombres complexes a + 6i(î = K — 1), on peut établir une relation analogue, et de là découle, pour ces nombres, une théorie de la divisibilité parfaitement analogue à celle des nombres ordinaires. Nous aurons à revenir plus tard sur cette question et d'autres de la même nature.

Les propositions les plus essentielles sur la divisibilité des nombres se trouvent déjà dans les Eléments d'Euclide; notamment on y trouve: l'algorithme pour la recherche du plus grand commun diviseur, la proposition qu'un produit ne peut être divisible par un nombre premier, à moins qu'un des facteurs ne le soit, la proposition qu'il y a un nombre infini de nombres premiers.