DES CONGRUENCES

1. Si la différence des deux nombres a et 6 est divisible par un nombre M, a et 6 sont dits congrus par rapport à M; le diviseur M est appelé le module ; a et 6 sont résidus l'un de l'autre suivant le module M. Pour exprimer cette relation , on écrit , d'après la notation de Gauss,

a = 6 (mod M) ;

cette formule est une congruence. Il y a avantage , dans cette théorie , à admettre , pour a et 6 , non seulement les valeurs entières positives , mais aussi les valeurs entières négatives.

Si r est le reste de la division de a par M , on a .

a = r (mod M) ;

le reste r est ordinairement un des nombres

mais on pourrait le prendre aussi entre ^ et -j- — - ; d'où il suit que

tout nombre a un résidu qui ne surpasse pas en valeur absolue la moitié du module. C'est là le résidu minimum.

2. Nous allons indiquer ici les propriétés les plus élémentaires des congruences , il sera à peine nécessaire d'insister sur les démonstrations. Si l'on n'indique pas le module, il sera sous-entendu que ce module est toujours M.

Si l'on a

on aura ainsi

a 4- a' -f a" -f . . . EE 6 -f 6' + 6" + . . . , ma^mb.

De même , on aura

aa' = ba'^bb'

et plus généralement

aa'a"... = bb'b" ..., a" = 6"».

Ainsi

f{x,y,s,...)=^Ar„,n,p,...x"'y"zP...

étant un polynôme à coefficients entiers, on aura r{a,a',a",...) = r(b,b',b",...).