Considérons r solutions du système (I
«1,1» «1,2, •••! ai,m + n,
«r,l, ar,2, • ■ • , 0-r,m-\-n,
que nous désignerons quelquefois aussi par de simples lettres Aj, Ag, . . . , Ar. Ces solutions sont indépendantes si tous les déterminants de degrés r ne sont pas nuls. Il est clair que l'on peut trouver tout au plus w solutions indépendantes, car, puisque toutes les solutions sont comprises dans les formules (II) (n° 4) qui ne renferment que n indéterminées, n -|- 1 solutions ne sont jamais indépendantes. En multipliant les solutions précédentes par <i, ^g, ••■>'»• et en ajoutant, on obtient une nouvelle solution
dont les éléments sont
Xi = ai,< t\ -j- 02,1 fe + • • • + «»-,i tr-
Nous dirons que les solutions
-"■1 , ■'^2 , " • • , Ay
forment un système fondamental de solutions, lorsque l'on obtient toutes les solutions possibles, et chaque solution une seule fois, en donnant à ^j , ^2 » • • • , '»■ '^^ valeurs de — 00 à -f- °o . L'existence de ces systèmes fondamentaux de solutions ne fait pas de doute, car nous savons , par le théorème I , que
A',1, ^«,2, • • • , Pi,m + n
{i=l, 2, ..., n) est un tel système.
Théorème II. — Un système fondamental de solutions se compose de n solutions indépendantes.
Ce théorème est une généralisation du théorème VIII du Chapitre II; la démonstration est exactement la même.
La matrice formée par n solutions indépendantes , ou par un système fondamental de solutions , est du type n X (m -}- w), donc du type complémentaire de la matrice du système (I).
Considérons la matrice du système (I) et la matrice formée par n solutions indépendantes
ûl,lt «1,2,
(fm, 1 , ûfm, 2 ,
Ctm, ,n + » )
«n, tn +n.
Les relations qui existent entre ces nombres se réduisent à ceci : que la somme obtenue en multipliant les éléments d'une quelconque des m premières lignes par les éléments correspondants d'une des n dernières lignes est nulle.
On voit donc qu'il y a une réciprocité complète entre les deux matrices , et si l'on considère le système indéterminé
a»,l aJl + «i,2 X2-\- . . . -{-ai^m+nXm + n=0
ii=l, 2, ..., w), les nombres
Ct«,l, ff«,2, . • • , Cli^m + n
(i=l,2, ...,»n), en donneront m solutions indépendantes.
D'après ce que nous avons dit dans le n^ 2, on peut faire correspondre à chaque déterminant de la matrice [ «i,*!! un déterminant de la matrice || at^k || d'un système de n solutions indépendantes.
Théorème III. — La matrice d'un système fondamental de solutions a l'unité pour plus grand diviseur.
Considérons , en effet , les formules
Xi = /5l,i <1 + /?2,« <2 + • • • + Pn,i tn ,
[î = 1 , 2 , . . . , (m + w)] qui renferment la solution la plus générale. Il est clair d'abord que
(A,l/îl,2. .. A,m + n)= 1,
car , si ces nombres étaient tous divisibles par c > 1 , on trouverait une solution entière en posant t^=: -, ce qui , on le voit facilement d'après
ce que nous avons dit plus haut , est contraire à la nature d'un système fondamental de solutions.
Ensuite , je dis que les déterminants de la matrice
^1,1, fil,2, ■■-, fil,m + n, P2.Ï, /Î2,2, • . • , ^2,m + n
ont aussi 1 pour plus grand commun diviseur. Car si ces déterminants étaient tous divisibles par c > 1 , c ne divisera pas tous les éléments de la première ligne, par exemple c ne divisera pas Pi^\; mais alors on trouverait encore une solution entière en posant
to
1 ft,l
ce qui est impossible.
Ensuite , je dis que le plus grand commun diviseur de la matrice
/îl,l, Pl,2, ■•■, A,OT + n, /52,1> ^2,2, .••} ^2,m + n, ^3,1, ^3,2, •••, P3,m + n
est encore = 1. Car si ce plus grand diviseur était c> 1, c ne diviserait pas , par exemple , le déterminant
et, en posant
Ps,l Pz,2
on trouverait encore une solution entière, ce qui est impossible.
Il est clair que l'on peut continuer ainsi , pour arriver au théorème énoncé.
