Considérons le système des congruences

d,! oc\ -\- ai.2 aJ2 + . . • + ffi,n a^n ^ "i (mod M). Soit A = \aiic\ le déterminant formé avec les coefficients des inconnues, puis aile le coefficient de a,* dans A. On obtient immédiatement

Aa;i = Mi ai,i+ «2 a2,j+ • • • + Mn a„,i (mod M).

Supposons que A soit premier avec le module M, alors cette dernière

relation détermine une valeur unique de Xi par rapport au module M ;

et ensuite il est facile de voir que les valeurs de x^, x^, . . ■ , ccn ainsi

obtenues satisfont bien aux conditions proposées. En effet, on trouve

A {tti^iXi -\-ai,2X2 + . . . + rti,„iCn) = A Mi (mod M) et, puisque A est premier avec M, on peut diviser par A.

Le système des congruences admet donc une solution unique dans le cas particulier que nous considérons. On peut ajouter que les valeurs de a?!, ajg, . . . , Xn satisfont encore à la relation

an + i,ia;i -\- a„+i,2X2 -\- . . . -\- a„ + i,„x„=^u„+i (mod M) si l'on a

«1,1 ... Ol,n Ml

Cln,l • • • û!n,n Mn

ffn + 1,1 ••• dn + l,» Mn + 1

; 0 (mod M).

En effet, il est facile de voir que cette dernière congruence peut s'écrire sous cette forme

A(m„+i — a„+i,ia;i --a„+i,2a%— • • . — a„+i,„a;„)=^0 (mod M).

2. Les résultats précédents sont ceux qui s'offrent immédiatement lorsqu'on poursuit l'analogie évidente qui existe entre la théorie des congruences et la théorie des équations. Mais si A n'est pas premier

avec M, une étude plus approfondie est nécessaire Elle a été faite pour la première fois par M. H.-J.-S. Smith, et nous allons exposer sa théorie. Les considérations suivantes interviennent non seulement dans des questions de la théorie des nombres , mais elles sont encore utiles dans beaucoup de théories d'analyse pure ; aussi plusieurs résultats isolés ont été obtenus antérieurement par d'autres géomètres.

Nous commencerons par étudier les équations linéaires indéterminées , mais il convient d'abord de fixer le sens de quelques expressions dont nous ferons usage.

En adoptant une expression introduite, croyons nous, par M. Syl vester, nous appellerons matrice un Tableau de forme rectangulaire

ûl,l 0'1,2 • • . ffll, m, «2, 1 «2, 2 • • • Cl2,m,

C»i,l 0,n,2 ... On,m

contenant mn quantités données, et nous dirons que cette matrice est du type n X m. Si l'on a un système quelconque d'équations linéaires, les coefficients des inconnues constituent la matrice de ce système. Si les équations ne sont pas homogènes, on peut ajouter à cette matrice une dernière colonne formée par les termes connus. On obtient ainsi la matrice complétée du système. Les mêmes expressions s'emploieront dans le cas d'un système de congruences. Les éléments ai,k seront toujours des nombres entiers.

Les déterminants d'une matrice sont les déterminants de degré le plus élevé que l'on peut former avec les lignes ou les colonnes de la matrice; ainsi, dans le cas m^n, ces déterminants renferment n^ éléments et leur nombre est

TO (m — 1) ■ . . (m — w + 1) ^^ 1.2. ..n - ^'"^"-

Le plus grand diviseur d'une matrice est le plus grand commun diviseur des déterminants de cette matrice , en supposant que ces déterminants ne soient pas tous nuls. Dans le cas wi = h , ce plus grand diviseur est le déterminant même du système des n^ éléments.

Nous désignerons une matrice souvent par le symbole

IIAII

et , dans le cas où elle est du type n X n, ] A | sera le déterminant. Deux

matrices

||A|| et ||B||

des types m X (m-{-n) et n X {m -\- n) sont de types complémentaires. Il est clair que ces matrices ont le même nombre de déterminants, et l'on peut faire correspondre à chaque déterminant de |j A j| un déterminant de II B II et réciproquement, de la manière suivante.

En écrivant la matrice j| B || en dessous de la matrice || A || on obtient

une matrice

qui sera du type (m + n) X (wt -f M) et à un déterminant de || A || on fera correspondre le déterminant de || B || avec lequel il se trouve multiplié dans le déterminant des {m + nf éléments

Souvent il n'y a pas d'intérêt à faire attention au signe d'un déterminant d'une matrice, mais dans le cas actuel il convient de faire en sorte que le produit des déterminants correspondants se retrouve avec son signe dans le déterminant des (w -f" ^f éléments.

3. Les déterminants d'une matrice ne sont pas indépendants; il existe en général un grand nombre de relations identiques entre eux. Nous allons nous rendre compte d'abord de la nature de ces relations et du nombre des déterminants qui sont indépendants. On pourra con sidérer dans ce numéro les éléments de la matrice comme des quantités arbitraires. Considérons la matrice

ai.i

Wl,m + n,

flm.l

am,2 •

Om^m-\-n

du type m X (wî + w). Le nombre des déterminants est

mais nous allons montrer qu'il y en a seulement mn-\- 1 qui sont indépendants. Tous les déterminants peuvent s'exprimer à l'aide de mn-\-l d'entre eux.

Soit

(2) A = |ai,fc| (i,k=l,2,...,m)

le déterminant formé par les m premières colonnes de la matrice. Le déterminant obtenu en remplaçant dans A la t'"""" colonne par la m -|- /c'^™® colonne de la matrice sera désigné par A,-,m + s:. On déduit ainsi de A wn nouveaux déterminants , i variant de 1 à m, A: de 1 à «. On pourra les disposer dans le Tableau

Ai,m + 1 Ai,m + 2 • ■ • Ai,m + n, /n\ ^A2,m + 1 A2,tn + 2 ••• ^2,m+n,

Les mn-\-l déterminants A,Ai^m + k sont indépendants; on peut trouver une matrice pour laquelle ces déterminants ont des valeurs données d'avance. Prenons d'abord arbitrairement les éléments a^,* de A, avec la seule restriction de vérifier la relation (2). On a ainsi les m premières colonnes de la matrice. On peut déterminer ensuite la m -f- A'*""® colonne par la condition que les déterminants A,;m-)-ft(i= 1 , 2, . . . , m) prennent des valeurs données. En efifet, on obtient ainsi m équations linéaires pour déterminer

Le déterminant de ce système est A*"-^, mais, en le résolvant, on trouve simplement

(4) . 0»,»n f* = («i,l A], m-l-A: -j- «t,2 Û2,m + * + ••• -f- (ïi,m Ûm,m + A) : A,

La vérification de ces valeurs est du reste immédiate , et l'indépendance des mn-\- l déterminants A, At^m + k est manifeste.

Considérons maintenant un autre déterminant A' de la matrice. Il contiendra k colonnes appartenant aux n dernières colonnes de la matrice (A; ^ 2); soient

les rangs de ces colonnes. Les autres m — k colonnes de A' appartiendront aux m premières colonnes de la matrice , c'est-à-dire , ce sont des colonnes de A. Soient

les rangs des colonnes de A qui ne figurent pas dans A'. En remplaçant alors dans A' les éléments a,,m+A: par leurs valeurs (4), on obtient, à l'aide des propriétés élémentaires des déterminants , la formule

Ainsi tous les déterminants de la matrice s'expriment rationnellement au moyen des mn-{- 1 déterminants A, Ai,m+A. On voit que A' est égal à un déterminant mineur du degré k, puisé dans la matrice (3), divisé par A*-i. Le nombre des déterminants tels que A' est

(m)2 (n)2 + (wî)3 (w)3 + (m), (n)^ + . . .

= (w + n)m — (w)o (n)o — (w)i (w)i = (m -\- n)m — (mn -\- 1).

Équations linéaires indéterminées.

i. Considérons d'abord le système linéaire et homogène

,^. \ai,iXi -\-ai,2X2 + • • • -\-ai,m + nXm+n = 0,

^ ' ' ' ' iî = 1 , 2 , . . . , m.

Nous supposerons que ces équations sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire que tous les déterminants de la matrice de ce système ne sont pas nuls. Le plus grand diviseur de la matrice a alors une signification précise ; soit d ce plus grand diviseur.

Le moyen que nous emploierons pour trouver toutes les solutions en nombres entiers consiste dans l'introduction de nouvelles inconnues.

Au lieu de a?!, ajg, . . . , Xm+ny on peut introduire de nouvelles inconnues , en posant

Xi = Ci,i X'i + Ci,2 332 + ... + Ci,m + nX'm + n-

Les c,,fc seront des nombres entiers, et nous n'emploierons que des substitutions dont le déterminant j c,,i = ± 1.

On peut alors exprimer réciproquement les x'i par des fonctions linéaires à coefficients entiers des Xi et , comme nous ne considérons que les solutions en nombres entiers , le système transformé sera absolument équivalent au système donné, c'est-à-dire à deux solutions distinctes d'un des systèmes correspondront toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Parmi les déterminants de la matrice de (I) qui ne sont pas nuls , il y en aura au moins un dont la valeur absolue est le plus petit. Nous pouvons supposer, en adoptant la notation du n^S, que A soit ce déterminant minimum. Supposons d'abord que tous les déterminants At,m-i-ft soient divisibles par A. Alors il est clair que l'on obtient la solution la plus générale de (I) en donnant à Xm + \, Xm-\-2, • ••, Xm+n des valeurs entières absolument quelconques et en déterminant ensuite a?!, iCg, . . . , x»j par les formules

OCi^= — (A,;m-|-ia;m-|-l + ^i.m + lXm+'î ■}-.■. -\- ^i,m + nXm + n) '■ ^ j

On voit, du reste, par la formule (5) du n°3, que, lorsque A divise tous les A,,m-f-4, il divisera tous les déterminants de la matrice, en sorte que l'on doit avoir A = ± d.

Mais supposons que A ne divise pas tous les A,,m-i-* et, par exemple, ne divise pas Ai,m + i. Alors, on peut toujours trouver un entier c tel que la valeur absolue de

Al,m-f-l — CA

soit inférieure à celle de A. La substitution de déterminant -f- 1 Xi =x'i {i:^l,2,3,...,m,m-{-2,m-\-3,...,m-\-n),

Xm + l^X'm + l — CX[

transformera alors le système (I) dans un autre système dans lequel un des déterminants est Ai,m-i-i — c A. Le déterminant minimum du système transformé est donc plus petit (en valeur absolue) que A. Si ce déterminant minimum ne divise pas tous les autres déterminants , on pourra encore le diminuer par le même procédé. II est clair que l'on finira par trouver un système transformé dans lequel le déterminant mini-

mutn divise tous les autres déterminants, et dont on peut écrire alors immédiatement la solution la plus générale. Cette solution renferme, comme nous l'avons vu , « indéterminées auxquelles on peut donner toutes les valeurs entières de — oo à -f- qo .

Théorème I. — On obtient toutes les solutions du système (I) , et chaque solution une seule fois , par les formules

en donnant kt^,t2,--,fn toutes les valeurs entières de — oo à + °o •

Il est clair qu'en substituant les expressions (II) dans le système (I), les coefficients de <j , <2, • ■ , 'n doivent s'annuler.

On obtiendrait donc encore des solutions de (I) en donnant à t^, t^, -.lin des valeurs fractionnaires. Mais il est clair que l'on ne peut jamais obtenir, de cette façon, une solution de (I) en nombres entiers , car toute solution entière correspond à un système unique de valeurs en tières de ij , /g i • • • » 'n-

Pour obtenir , dans un cas donné , la solution générale sous la forme (II), il sera plus pratique de procéder autrement. On cherchera, par exemple, par la méthode d'Euler (Chap. II , 25) , la solution générale de

«1,1 «1 4-ai,2aJ2 + • • • +«l,m + na;m+n^=0,

qui renfermera m-\-n — 1 indéterminées , puis on introduira ces valeurs dans la seconde équation

«2,1^:1 +a2,2a;2 + . ■ . +a2,m + na'», + n = 0,

etc. , jusqu'à ce que l'on ait épuisé les m relations données.

Si l'on transforme , comme nous l'avons fait , le sys*^ème (I) , il est clair que tout déterminant du système transformé est une fonction linéaire à coefficients entiers des déterminants de (I), et réciproquement. On voit par là que le plus grand diviseur des deux matrices est le même et, par conséquent , dans le procédé que nous avons employé plus haut, on trouvera finalement un système dont la matrice a un déterminant minimum égal à ± d.