Multiplication des matrices. - Soit

Il /i=l,2,...,n ""''*" U=l,2,...,m-f «y

ou II A il une matrice du type n X{m-{- n), {m ^ 0),

||c,-fc|| (i,A;=l, 2, ...,n),

ou II Cjl, une matrice du type n X «, nous représenterons par

une matrice du même type que || A || et dont les éléments sont

Lorsque || Cj || est encore du type n X n, nous écrirons

Il Cl II X II A' Il = Il Cl II X lie II X il A II, et il est facile de voir que

Il Cl II X II Cil X II A II = II! Cl II X II C III X II A II.

Mais on ne peut pas permuter les deux matrices dans un produit, et si l'on considère un produit de plusieurs facteurs

l|CnllXl|Cn iliX...X||C||Xl|Aj,

on suppose toujours que toutes les matrices i C^ |i sont du type n X n: seule la matrice || A 1| peut être du type n x(»î-|-«), le produit est toujours du même type que || A ||.

Il est clair que , lorsque

Il A' Il = 11 Cil XII A II,

tout déterminant de II A' || est égal au déterminant correspondant de Il A II multiplié par le déterminant | C |. Les déterminants correspondants de II A II et || A' Il seront proportionnels et si, en particulier, le plus grand diviseur de | A| est =1, le plus grand diviseur de || A' |1 sera la valeur absolue de | C | .

Dans le cas où le déterminant

Cl,l C2,l

Cl, 2 C2,2

Cl,n C2,n

Cn,l Cn,2 • • • Cn,

nous désignerons par || C ||~i la matrice

S7l,ï, ey2,i, ..., ey„,i,

eyi,2, ej'2,2, ..., eyn,2,

eyi,n, E}%n, ..., eyn,n,

yi,k étant le coefficient de c,,* dans le déterminant | C

On voit que

|C||Xi|C||-i = ||C|!-iXiiCii =

et de la relation on peut conclure

|lA'II = llC||XllAi|, AJl = l|Ci|-iXi|A' il

8. Soit II A II la matrice formée par n solutions indépendantes, ||B|| la matrice formée par un système fondamental de solutions.

Puisque les solutions de || A || peuvent se déduire du système fondamental il B II, cela revient , avec notre nouvelle notation , à dire que

Il est clair que le plus grand diviseur de || A || est = ± I C | , et, dans le cas I C I = ± 1 , Il A II est évidemment aussi un système fondamental de solutions , car

|tB|| = ||C||-iXl|A||.

Si l'on considère plusieurs systèmes de n solutions indépendantes , ou de systèmes fondamentaux , les déterminants correspondants seront toujours proportionnels.

Théorème VI. - Lorsque le plus grand diviseur de la matrice

Il B II du type nX{m-\-n)

est = 1 , et que les déterminants d'une matrice

Il A 11 du type n X (m -\-n)

sont proportionnels aux déterminants correspondants de ||B||, on a toujours