A|| = ||C|IX||B
et la matrice || C || est unique.
En effet, on obtient pour déterminer Ci,i, c,,2, . > Ci,n les équations
ai,k = C,-,i 6i,ft -f" Ct,2 62,* + . . . + Ci,n bn^kt
bn,l
ai,i
bn,n + l
Un déterminant quelconque de la matrice complétée de ce système, tel que
bl,n + l 62,n + l . .
est nul, car d'après la proportionnalité supposée entre les déterminants de i; A 11 et de i| B ||, il est permis de remplacer partout bi,k par a,,/,, à condition de diviser après par un certain nombre entier le facteur de proportionnalité.
Mais on obtient ainsi un déterminant avec deux colonnes identiques. Donc , d'après le théorème IV, il existe un système et un seul de valeurs Ci,i, Ci,2, . . . , c,-,n qui satisfont à la question.
On voit qu'une matrice du type n X (m -\- n) dont les déterminants (non tous nuls) sont proportionnels aux déterminants de la matrice !|B|| formée avec un système fondamental (ou avec n solutions indépendantes) est nécessairement composée avec n solutions indépendantes.
Théorème VII. — Les déterminants d'une matrice formée par n solutions indépendantes, du type n x (w-f-w), sont proportionnels aux déterminants correspondants de la matrice du type w X (w + n) du système indéterminé donné (I). En particulier, un déterminant d'un système fondamental de solutions est égal au déterminant correspondant du système (I) , divisé par d.
Il suffira de faire voir que le théorème se trouve vérifié pour un système particulier de n solutions indépendantes. Un tel système peut se déduire des considérations du n° 3. Supposons que le déterminant A ne soit pas nul , alors on a le système suivant de n solutions indépendantes
^l,m + l, A2,m + 1, ••., Am,m + 1, — A, 0, 0, ..., 0,
^I,m4-2, A2,m+2, -..i Am,m+2, 0, — A, 0, ..., 0,
vSTTR LA THEORIE DES NOMBRES.
En effet , ce sont là bien n solutions , car on a [form. (4) du n** 3]
Cti,! ^l,m + k -\- Cli,2 A2,m + k -\- ■ -4" Oi^mAm,m + k — a,-,m + it A =0.
Ces solutions sont indépendantes , car l'un des déterminants est ( — A)".
Et si l'on considère maintenant les déterminants de cette matrice qui correspondent aux mn-{- 1 déterminants que nous avons considérés dans le n^ 3, on reconnaît immédiatement qu'ils n'en diffèrent que par le facteur ( — l)"A»-i, et cette proportionnalité s'étend aisément aux autres déterminants.
Plus généralement , on peut obtenir n solutions indépendantes ainsi. Soit
Puisque tous les déterminants de la matrice donnée ne sont pas nuls , on pourra choisir les nombres c,,^, de manière que D ne soit pas nul. Désignant alors par C,,* le coefficient de Ci,* dans D, il est clair que l'on a le système suivant de n solutions
ai,i .
Otl,m+n
Or»,! •
(hn,m-\-H
Cl,l .
■ Ci,m+n
Cn.1 ■
Cn,m-{-n
■^M,ll
et , d'après un théorème connu , un déterminant quelconque de cette matrice est égal au déterminant correspondant de la matrice iia<,ft|| multiplié par D"-i.
9. Nous allons résoudre maintenant le problème suivant. Étant donnée une matrice
du type n X (m-\-n), dont d est le plus grand diviseur, trouver toutes les solutions de l'équation
||A|| = ||C|jX|lB||,
le déterminant | C | étant ± d. Il est clair que le plus grand diviseur de
StJR LA THEORIE DES NOMBRES. ^088
||B|| est 1, et si l'on a trouvé une matrice dont les déterminants sont proportionnels à ceux de [j A || et dont le plus grand diviseur est =1, on pourra la prendre pour || B |j ; la matrice [l C \\ s'en déduit d'après le théorème VI.
On peut obtenir une telle matrice jj B jj en considérant le système indéterminé dont la matrice est |! A |j. On cherchera m solutions indépendantes formant une matrice ji A' \'. Ensuite, on cherche un système fondamental de solutions du système indéterminé dont la matrice est Il A' ij. La matrice formée par ce système fondamental satisfait évidemment aux conditions.
Mais voici une autre méthode qui sera préférable ordinairement. Divisons d'abord la première ligne horizontale de j A jj par le plus grand commun diviseur des nombres qu'elle renferme, on aura ainsi la matrice
6l,l, &1,2, • . • , 6l,m + n. «2,1, «2,2» • • ■ ) Cl2,m + n,
On,l, û'n,2, • • • , (tn,m-\-n-
Soit maintenant d^ le plus grand commun diviseur de la matrice formée avec les deux premières lignes. Je dis que l'on pourra déterminer un nombre x satisfaisant aux congruences
a; 6i, i = a2, < (mod d^) , i=:l,2,...m-\-n.
C'est ce qui résulte du théorème V. En retranchant donc de la seconde ligne, la première multipliée par x, elle deviendra divisible par dj et, après la division, on aura une matrice
6l,l, &l,2i • • • I 6l,m + ni &2,1. 62,2. • • • , &2,m-(-n> «3,1» «3,2. • • • , «3,»i + n,
et le plus grand diviseur de la matrice des deux premières lignes est = 1.
Soit dg le plus grand diviseur de la matrice des trois premières lignes , les congruences
a; 61, 1 + 2/62,1 = «3,,- (moddg), (î=l, 2, .... m + n)
admettent encore une solution , d'après le théorème V. En retranchant de la troisième ligne la première multipliée par x et la seconde ligne multipliée par y, on pourra diviser par dg et , dans la matrice obtenue
le plus grand diviseur de la matrice partielle formée par les trois premières lignes est =1. Il est clair que l'on peut continuer ainsi, on finira par trouver une matrice
ll&i,*ll = l|B|i /e=l,2,...,n \ \k=^\,2, . . . ,n -\- m]'
dont le plus grand diviseur est = 1 , et il est clair que ses déterminants seront proportionnels à ceux de |' A ||. On peut remarquer que ce procédé donne , dans le cas tw = 0, une nouvelle méthode pour la construction d'un déterminant = ± 1.
Ayant ainsi obtenu une solution particulière
||A|| = ||C||X||B1|, il est facile de voir que la solution la plus générale sera comprise dans les formules
||A|| = IlCo||X||Bo||, Où
||Bo|| = |!E||X||B||,
l|Co|l = ||C||Xl|E||-i,
Il E II étant une matrice quelconque du type nX n dont le déterminant est ± 1.
Lorsque || A || est la matrice de n solutions indépendantes du système (I), la matrice |j B || sera composée d'un système fondamental de solutions.
10. On peut obtenir la solution du système ... {ai,iXi -{-Ui^iah + . . • + a,-,m+„a;m-Hn = 0, ^^ ■ • • ' l i=l,2 m
encore par une autre méthode , un peu différente de celle que nous avons exposée dans le n^4, et qui conduit à un résultat dont nous aurons besoin plus loin.
Nous avons vu , dans le Chapitre II, que par une substitution linéaire de déterminant ± 1 » on peut tranformer l'expression
en dix'i, di étant le plus grand commun diviseur des coefficients ai,i,
01,2, • • • , Ol,>n + K-
A l'aide de cette transformation , on déduira de (I) un système équivalent dont la matrice affectera la forme
flm,2 ..
Om,m+n
Les coefficients 02,2, «2,3, . . . , a2,m + n ne peuvent pas être tous nuls, car tous les mineurs du second degré des deux premières lignes seraient nuls; la même chose aurait lieu pour la matrice de a,-,^, ce qui est contre l'hypothèse admise. En opérant donc sur les variables x!^, a^, • • • > ^m + n. on pourra transformer encore le système de manière à obtenir un nouveau système dont la matrice affecte la forme
di
ds
a'is . .
^2 étant le p. g. c. d. de «2,2, «2,3, •• • , a'2,m + n- En continuant ainsi, on sera amené finalement à une matrice de la forme
di 0
Pm, l Pm, 2
Pm, m — 1
dm . .
Il est clair qu'on aura d^d^^d^d^ . . . dm, et si les nouvelles inconnues sont î/i, «/2, ...,ym+n, la solution la plus générale s'obtient en posant
tandis que 2/m + i,?/m + 2, ■■■,ym + n peuvent prêt dre toutes les valeurs entières de — 00 à -f 20 .
On peut simplifier encore le tableau (A). En remplaçant d'abord y.^ par ?/2 — c2/i , il est clair qu'on peut faire en sorte que le coefficient ^2,1 devient positif, mais inférieur à d^. En remplaçant ensuite y^ par 2/3 — ^^2 — c 2/2> on peut assujettir les coefficients p^^i, ^^,2 aux limitations
On voit, en définitive, qu'il existe toujours une substitution de déterminant ± 1, tel que le système transformé a une matrice de la forme particulière (A) , où les coefficients dj , dg , ■ , dm sont positifs et
(d^pi,k<di [A=l,2,...,(i — 1)]
(voir Hermite , Journal de Crelle , t. 41 , p. 192). On verra facilement que cette forme réduite (A) est unique. La nature invariantive des coefficients du tableau (A) s'aperçoit aisément. D'abord il est clair que di est la plus petite valeur (sauf 0) que peut avoir l'expression
Xi,X2, ...,Xm + n étant liés par les relations
Ensuite ^2,1 est la plus petite valeur que peut avoir la fonction linéaire
0,2,1X1 -\- ... -\-a2,m + nXm + nt
x^,X2, ■ . ',Xm + n étant liés par la relation
0,\,\ Xi -\- . . . -{- ai,m + nXm + n = di.
Ensuite Pz,i^ fis,^ sont les plus petites valeurs de
Os,lXl -\- . . . -\- as^m^-nXm + n,
Xi, X2, • • ■ , Xm+n étant assujettis, dans le premier cas, aux relations
Cll,lXi -{-... -\- ai^m + nXm + n = di Cl'2,lXi -{-... -\- a2,m + nXm + n^= ^2,1
et , dans le second cas , aux relations
Cll,lXi 4" . ■ ■ + ai,m + nXm+n = 0, (12,1 Xl + • • • + a2,m + nXm + n=^dz,
ainsi de suite.
