Revenons maintenant à la forme bilinéaire

\k=\,2,...,n)' En opérant sur les xa, y,- des substitutions de déterminants ± 1, on obtiendra une forme équivalente

F'= ^^aU^A2/i-

Nous allons montrer que , parmi ces formes équivalentes , il y en a toujours une , parfaitement déterminée , qui affecte la forme très simple

^1 ^1 Vi r ^2 •'^2 Vi 'V • • ' ~T ^p -^p Vp > et que nous appellerons la forme réduite. Ici e■^, e^, . . . , Cp sont des entiers positifs, e^-i divise Ck, et p est tout au plus égal au plus petit des nombres m et n. Ensuite on reconnaîtra facilement que la condition nécessaire et suffisante pour l'équivalence de deux formes bilinéaires consiste en ce qu'elles admettent la même forme réduite. On peut donc considérer les nombres e^, e^ Cp comme un système complet d'invariants de la forme bilinéaire F.

Considérons la matrice

\\a{,k\\ ou llAli, formée par les coefficients de F. Nous désignerons par dj le plus grand commun diviseur (pris positivement) des coefficients a,-,^, par dg le plus grand commun diviseur des déterminants du second degré tels que

\cir,k Ctr,l

de même, par dg le p. g. c. d. des déterminants du troisième degré, etc. Si tous les déterminants du degré p ne sont pas nuls , mais si tous les déterminants du degré p-\- 1 sont nuls, on aura ainsi la suite des p nombres

di, dg t • • • > "'P>

et nous supposerons alors dp+k = 0. Il est clair que dk-i divise dk et nous posons

Ces nombres e sont des entiers , nous les appellerons déjà les invariants de F; nous verrons plus loin que Ck-i divise ek] p est tout au plus égal au plus petit des nombres m et n.

Soit maintenant

lloUI! ou II A' Il ■

la matrice formée par les coefficients de la forme F' équivalente à la forme F, et d'^ le p. g. c. d. des déterminants de degré k de cette matrice. Il est clair que tout déterminant de degré k de la matrice || A'|| est une fonction linéaire et homogène de divers déterminants de degré k de la matrice || A!. Donc d'/^ est nécessairement divisible par dk et tous les déterminants de degré p -\- l de II A'|| sont nuls. Mais, pour la même raison , dk doit être divisible par d'^ ; donc

d'k ^^dk,

et tous les déterminants du degré p de |! A' || ne peuvent pas être nuls. On voit par là que les deux formes bilinéaires équivalentes F et F' ont les mêmes invariants f^ , fg , . . . , Cp.

L'égalité des invariants est donc une condition nécessaire pour

l'équivalence de deux formes; qu'elle est aussi une condition suffisante, cela résulte ensuite immédiatement de la proposition que nous avons énoncée déjà , d'après laquelle la forme F est équivalente à la forme réduite

En effet, d'après cela deux formes, dont les invariants sont égaux, sont équivalentes à une même forme réduite , et , par conséquent , aussi équivalentes l'une à l'autre.

26. Nous avons à montrer maintenant comment on peut opérer cette réduction de F à la forme réduite. Considérons la matrice

«1,1 0,1,2 Ol,3 • • • 0,\,n, «2,1 «2,2 «2,3 • • • Cl2,n,

ft»i, 1 Ct»(, 2 tt«i, 3

Par une substitution sur les Xh, on peut d'abord réduire la première ligne à

(5j étant le p. g. c. d. de ai,i, 01,2, . . . , a\,n- (H va sans dire que nous n'employons que des substitutions de déterminants = ± 1.)

Si après cela ày divise tous les autres coefficients de la première colonne , on pourra , en remplaçant y^ par une expression de la forme

yi + C2 î/2 + • • ■ + Cm y m ,

sans changer ^21^3 y »» > obtenir une matrice transformée de la forme

0 bm, 2 6m, 3 • . • bm, n-

Mais si ^j ne divisait pas les coefficients de la première colonne , on pourrait diminuer ce coefficient ô^ , et le remplacer par 62 , le p. g. c. d. des coefficients de la première colonne , en opérant une substitution sur les y, et annuler en même temps les autres coefficients de la première colonne. Si ô^ divise maintenant tous les coefficients de la pre-

mière ligne, on obtiendra encore une matrice de la forme (A), en remplaçant Xi par une expression

Xy -p ^2 X2 "p • . . ~\~ Cn Xn ,

sans changer x^, x^, ..., Xn- Au contraire , si ^2 "^ divise pas ces coefficients , on pourra le diminuer encore par une substitution sur les x. Il est clair qu'après un nombre fini d'opérations on obtiendra toujours une forme équivalente, dont la matrice affecte la forme particulière (A); mais on peut simplifier encore et obtenir une matrice (A), dans laquelle ^1 divise exactement tous les coefficients 6,,ft.

En effet , supposons que è^ ne divise pas exactement un des coefficients 6,,fc. Il suffira de remplacer Xk par Xk-\-x■^ pour voir paraître ce coefficient bt^k dans la première colonne avec 6.^. En reprenant alors les opérations de tout à l'heure, on obtiendra un Tableau du type (A), mais dans lequel le coefficient ô^ a une valeur moindre. On voit donc qu'on peut diminuer ce coefficient tant qu'il ne divise pas tous les &£,*, et , après un nombre fini de transformations , on tombera nécessairement sur une forme équivalente à F du type suivant

. Xn

Va

bs,2

ym

bm,S ■ ■

Om, n

et dans laquelle le coefficient e■^ divise tous les autres coefficients 6, -,4. Et il est clair immédiatement que % est le p. g. c. d. des coefficients Ui^k- Si maintenant les bt^k ne sont pas tous nuls, on pourra continuer la même réduction en opérant seulement sur les variables X2, x^, ■•-, Xn, VitVfit • • ■ > y m- On obtiendra ainsi une forme équivalente

Vs

Cm, 3 •

Cm, n

OÙ Ca est un multiple de e^ et divise tous les Ci,k'

En continuant ainsi , on obtiendra finalement la forme réduite

Puisque ek-i divise Ck, il est immédiatement clair que le p. g. c. d. des déterminants de degré A; de la matrice correspondante à cette forme réduite est

d'où l'on voit que les e* ont bien les valeurs indiquées précédemment.

27. Dans la pratique , et s'il s'agit seulement de calculer les invariants, on pourra remplacer souvent avec avantage le procédé que nous venons d'indiquer par le suivant. Après avoir obtenu une forme équivalente

. bs,n

tfm

bm,2

bm, 3 .

• bm,n

dans laquelle S^ ne divise pas nécessairement les &<,*, on continuera la même transformation sur les indéterminées ajg, x^,...,Xn, y^t ^s» • • • > Vm- De cette façon , on finira par obtenir une forme équivalente

di .Ti j/i + ^2 a;2 ^2 + ■ • • + ^p «P «/p. dans laquelle ô^, à^, . . . , dp sont des nombres positifs , et qu'on pourrait appeler une forme normale. Il est clair que le p. g. c. d. des déterminants de degré k de la matrice correspondante , qui doit être égal à dk, est ici simplement le p. g. c. d, des divers produits A; à A; des nombres

d'où l'on conclut , d'après les explications du Chap. I (n°^ 8 — 10) , que les invariants e^, e^, .. .,ep sont simplement les nombres réduits de 6^, d^y . . . , dp. Ayant ainsi obtenu une forme normale, on en conclut donc sans difficulté les invariants. On voit aussi que cette forme normale n'est pas unique comme la forme réduite, mais il existe toujours un nombre fini de formes normales équivalentes à une forme donnée F.

On peut montrer facilement, d'une façon directe , que la forme normale est équivalente à la forme réduite. Considérons pour cela une forme

et posons

F'= dx'i yi-^-mx^yz.

On peut maintenant transformer directement F en F' par les substitutions

Xi = ax[-\-^x'2, yi = a' y[ -\- p' y'2 ,

X2 = r^i + àxîi, y2 = /y'i-\r à'y'2,

(1) aô-py=l,

En effet , les conditions du problème sont

(3) ô,aa' + ô,Yy' = d,

(4) d,ap'-{.ô^yô' = 0,

(5) ô,fia'-\-d^ôy' = 0.

Pour y satisfaire, on prendra, pour a', y', deux nombres premiers entre eux , soumis à cette seule restriction que

(<îi a', ôr, y') = (^1 , ^2) = d.

Cela peut se faire évidemment d'une infinité de manières ; le plus simple c'est de prendre a' =:y' =: l.

On cherchera ensuite deux nombres a et y qui satisfont à la relation (3), puis on prendra

en sorte que la relation (5) se trouve vérifiée et en même temps la relation (1), car

Par suite de ces valeurs de /S et (5, la relation (6) revient à

c'est-à-dire elle rentre dans la formule (2), car ô^ d2 = md. Il suffit donc, pour achever la solution , de déterminer fi' et ô' par les relations (2) et (4) qui donnent

Il est clair maintenant que , par une application répétée de la transformation que nous venons d'indiquer, on pourra transformer une forme normale

5i Xi 2/1 + <52 «2 2/2 + • • • + ''p asp yp

dans la forme réduite

^i^yi~v ^^2y2'T ■ • ■ "v ^p^p Vp-

28. On peut énoncer le résultat principal que nous venons d'obtenir sous une forme un peu différente; mais, pour simplifier, nous supposerons »i = n et le déterminant |aj,*| différent de zéro, en sorte que

La forme bilinéaire

F = ^^ ai,hXk 2/, = Xi i/i -f Xa ^2 + • • • + X„ y»,

X,- = ai, 1 «1 -f- a<, 2 iB2 + ••• + ai,nXn

est réductible à la forme réduite

F' = ei odi yi + €2X2y'2 + ... + e„ x'n y'n par les substitutions

Xi=^ei,kccfk, yi=^ ft, k y'k.

Supposons qu'on ait

f:'i = ^Pi,kXk, y'i=^qi,kyk.

Si l'on substitue ces valeurs des j/j dans F', le coefficient de «/, est nécessairement égal à X,: donc

X, = «1 gi, ,• ici + f2 52, < aé + . . . + f n 3n,t aj'n

ou bien

(I) Xi^Çl,,^ -|-?2,i<2+ •••+ ?",<'".

si l'on pose

(II) . . . .h^^eiscfi, h^ezs^, •.., tn = enX'n-

On voit donc que toute substitution

Xi = ai,ia;i + «»,2iP2+ •■ • + ^i,na;n (î = l, 2, ...,n)

peut être remplacée par trois substitutions successives , la première (I), de déterminant ± 1 introduisant les variables t^, t2, . . . , t„, la seconde affectant la forme particulière (II), tandis que la troisième

(III) . x'i=^Pi,kXk

a encore un déterminant égal à ± 1.

Il est à peine nécessaire de dire que , dans cet énoncé , on pourrait remplacer les invariants e^, e^, . . . , e» par les coefficients ô^, Ô2, . . . , ô„ d'une forme normale équivalente à F. Et le cas p <.n n'apporte non plus une modification ; on aura seulement alors ek = 0 ou ôfc =: 0 pour k>p.

Le nombre p que nous avons vu s'introduire dans l'étude de la forme biliné^ire

F = ^^a,-,Aa;fc2/i

s'appelle le rang de la forme bilinéaire ou de la matrice des a,,^.

Nous dirons quelquefois aussi que e-^, 62, . . . Cp sont les invariants de cette matrice.

29. L'invariant «4 a été défini d'abord par le quotient dk'.dk-i', M. Smith a obtenu encore une autre expression remarquable de cet invariant.

Considérons un déterminant quelconque du degré k de la matrice. Divisons ce déterminant par le p. g. c. d. de ces propres mineurs, soit Eft enfin le p. g. c. d. de tous les quotients qu'on obtient ainsi ; alors le théorème de M. Smith consiste en ce qu'on a

E* = tk.

Pour éviter toute ambiguïté, ajoutons que, lorsqu'un des déterminants de degré k est nul , on doit adopter toujours la valeur zéro pour le quotient obtenu en divisant le déterminant par le p. g. c. d, de ses mineurs , même si ces derniers étaient tous nuls.

Il convient du reste, dans ces considérations, de regarder zéro comme le p. g. c. d. de plusieurs nombres qui sont tous nuls. C'est seulement avec cette convention que le principe du n" 6 (Chap. I) reste applicable au cas où l'on n'exclut pas la valeur zéro pour les nombres a,6,c,...,i.

Nous allons démontrer d'abord un cas particulier du théorème de M. Smith. Supposons n ^ w dans la matrice

Ol,n