IA
nous ferons voir que Em = fm = dm : dm-i- Nous pouvons supposer que dm n'est pas nul, car on aurait, dans le cas contraire, Em = «m=0, et l'on peut écrire (voir n** 9)
|iA|| = ||B||X||C||.
Il B II étant une matrice du type m X »», || C || une matrice du même type que II A II dont le plus grand diviseur est l'unité. On reconnaît aisément que les matrices || A|| et i| B || ont les mêmes invariants, car la forme bilinéaire de. x^fX^, •■• , Xn,yi,y2i ■•• >ym, dont la matrice est || B || complétée par n — m colonnes de zéros , est équivalente à la forme bilinéaire dont la matrice est || A ||. Nous savons de plus qu'on peut écrire
iwllX
• em
où |tt| = |t;| = ±l, donc
. Pm
XllDII,
Il D li = Il t> Il X !i C II étant une matrice du type m X n dont le plus grand diviseur est l'unité.
Si l'on considère les divers déterminants du degré m — 1 de |i A || qui renferment m — 1 colonnes données de cette matrice , on constate que le p. g. c. d. de ces déterminants ne change pas si l'on multiple la matrice par II m|!~^ On en conclut que le nombre Em est le même pour les deux matrices
IIAJI et ||m|1-ix!|A||;
il suffira donc de prouver l'égalité Em = «m dans le cas de la matrice
XllDI
obtenue en multipliant par e^, 62, . . ., em les m lignes de || D ||.
Soient ||0i!i, H^gii»--- 'es diverses matrices du type m X m contenues dans llDli; ©j, 02> • •• leurs déterminants; iPi le p. g. c. d. des mineurs de ||0i|| qui ne renferment pas la dernière ligne; en sorte
que -^ est entier. Enfin , désignons par coi le quotient obtenu en divisant le déterminant de
Cl 0
0 Co
xWSii
par le p. g. c. d. de ses mineurs ; il s'ensuivra
Em =(">!, ««2) <^3> • • •)•
Mais il est clair que le p. g. c, d. des mineurs de (1) est divisible par €162.. .em-i^dm-i, et, d'autre part, ce p. g. c. d. est un diviseur de dm-i X ^i (car dm-iX ^i est le p, g. c. d. des mineurs qui ne ren-
ferment pas la dernière ligne). Donc, w, divise «m ©• et est divisible par ,„ ^= — Un a donc nécessairement
et, d'autre part, em est le p. g. c. d. des nombres em&i=^oiipi
Le nombre E^ = (coi , («2 , . . .) doit donc être un multiple de N X Cm et un diviseur de 6^, ce qui exige
N=l, Em = e^. C.Q.F.D.
A l'aide de ce cas particulier, il est facile d'arriver au théorème général.
Si , dans une matrice quelconque du type m Xn, on se propose de calculer le nombre Et, on peut commencer par choisir k colonnes verticales, puis diviser chacun des déterminants du degré k de cette matrice partielle du type m X k{m^k) par le p. g. c d. de ses propres mineurs. Soit ^, le p. g. c. d. des quotients ainsi obtenus; alors, d'après ce que nous venons de voir, A, est le A'^™" invariant de la matrice partielle. Par conséquent, A, ne changera pas en effectuant sur yi,y<i,...,ym une substitution de déterminant ± 1- Mais E* est évidemment le p. g. c d. des divers nombres A^, Ag, ... correspondant aux divers groupes de k colonnes; donc E* ne change pas par cette substitution de y^, y^, . . . , y m- Par le même raisonnement , on voit que E^ ne change pas en
effectuant sur les x^fX^ Xn une substitution de déterminant ± 1. E*
est donc le même pour toutes les formes équivalentes à F et, en considérant la forme réduite ou une forme normale, on constate que Eft = «fc.
30. La nouvelle expression des invariants conduit à plusieurs conséquences importantes. Soient
les invariants d'une matrice ||a,-,ft|| ou || Aii. Supprimons dans H A|| une
colonne ou une ligne, désignons par 1| A' !| la matrice ainsi obtenue, et par
ei, e'2, ..., e'q
ses invariants. Il est clair que g^p et ensuite f'k est divisible par e*.
Si, au lieu de supprimer une colonne, on avait multiplié les éléments de cette colonne par un nombre entier N, les invariants de la nouvelle matrie |i A" || seraient
ei', 62, ..., C
et e'k est divisible par e^. Soient en effet Pk le p. g. c. d. des déterminants du degré k de !i A|| qui ne renferment pas la colonne que l'on change, Q* le p. g. c. d. des déterminants qui renferment cette colonne, on aura
d* = (Pfc,Q*), f/fc = Pfc, dA = (Pfc,NQft),
dfc-i = (Pfc-i,Q/t-i), d'k-x = Fk-u d'i i = (Pft i,NQft i): donc
d'^ (P;t,NQ^)(PA,NQ^,NPfe)(P^,Ndfc)/PA
dk dk dk dk
de même
^tA-'
Puisque
d'k—i /Pfc — 1 ^\
dft i~Uft-i' /
P* . Pfe-i g/ . g dk ' dk-i
est entier, il en est de même de
= e% : ek. 0. Q. F, D.
dk dk-i
Il est facile maintenant d'établir les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme bilinéaire
G=^^bi,kx'kyi soit contenue dans une forme
F='^'^ai,kXkyx.
En effet , soient
yi = ^fi,kyk
les deux substitutions qui transforment F en G. On reconnaît d'abord que le rang de G ne peut pas surpasser le rang de F, car un déterminant quelconque de la matrice || bi,k II est une fonction linéaire et homogène des déterminants de || ai,k \\. Chacune des substitutions qui transforment F en G peut être remplacée par une suite de trois substitutions comme au n" 28. Les substitutions de déterminants ± 1 ne changent pas les invariants , mais une substitution telle que
a évidemment pour effet de multiplier les invariants par certains nombres entiers. Les invariants de G sont donc divisibles par les invariants correspondants de F. On reconnaît facilement que cette condition , qui est nécessaire , est aussi suffisante.
Théorème XL — Pour qu'une forme bilinéaire G soit contenue dans la forme F, il faut et il suffit que le rang de G ne surpasse pas le rang de F, et que les invariants de G soient divisibles par les invariants correspondants de F.
Ce résultat comprend aussi le cas de l'équivalence.
31. Considérons maintenant les systèmes de congruences linéaires
, , \ai,ia;i + «.,2X2-1- ... + fl,,„a;„ = M< (modM)
Désignons par
a,i Oi-i
les invariants de la matrice du système et ceux de la matrice complétée. Nous supposons que dn ne soit pas nul.
Posons
c, = (M,eO. yi = (M,ei),
C=CiC2...c„, r =j'iy2- ••?'".
alors on peut énoncer
Théorème XII. — Pour que le système (1) admette des solutions, il faut et il suffit qu'on ait
Si cette condition est satisfaite, le nombre des solutions est exactement = C.
En effet, d'après le théorème VIII, le système (I) admettra des solutions seulement dans le cas où les plus grands diviseurs des deux matrices
.. 0 ai,i
. . ai,n
• . an,n
0 ai,i ..
. ai,„ Ml
