Soit enfin le système

«1,1 Xi + a«,2a;2 + • • • + ai,na;„ = Mj (modM), (i=l, 2,...,n + »î), et désignons toujours par

les invariants de la matrice complétée.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait des solutions

s'obtient à l'aide du théorème VIII sous la forme

(M»+'», M»+'»-icfi, M»+'»-2d2 M'»d„)

•|=(M» + m^ jj„ + m l^^ M'' + "'-252. .... M"'-M„ + i)

ou , après une réduction facile ,

, j M X (M , fil) X (M, ^2) X ... X (M, en)

I =(M,£i)X(M, fg) X ... X(M,£„ + i).

Mais puisque (M, ej) divise (M, eu), on a nécessairement

(1) e»+i = 0 (modM).

Par conséquent M"» (5„ divise M^'-Mn+i, et au lieu de (a) on peut écrire

(M»+"', M» + '»-ic/i, .... M-^dn) = (M»+'»,M"+"'-i^i, ...,M"'<5„),

ce qui revient encore à

si l'on pose comme précédemment

C = (M, fj) X (M, fa) X . . . X (M, en),

Pour qu'il y ait des solutions, les conditions (1) et (2) sont nécessaires et suffisantes. Le nombre des conditions s'obtient sans difficulté ; il est égal à C.

35. Les méthodes développées à partir du n" 22 permettent de retrouver avec facilité la plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Chapitre. Nous nous bornerons à déduire de cette façon le théorème VIII sous une forme plus générale. Considérons donc les équations non homogènes

sans faire aucune hypothèse sur m et n. Soient || A || et || A' li la matrice du système et la matrice complétée. Si l'on prend k des m équations et que l'on considère tous les déterminants du degré k qu'on peut former avec leurs coefficients , ces déterminants appartiennent en partie à la matrice liA'||. Mais, si le système (I) admet une solution, on pourra remplacer les ai,n+i par leurs valeurs

— (ai,ia;i-f a<,2iC2 + .. • +a,-,„a;„), en sorte que chaque déterminant de |i A' || s'exprime en fonction linéaire homogène des déterminants de |i A ||. Dans tous les k équations, le p. g. c. d. des déterminants de i| A || est donc égal au p. g. c. d. des déterminants de || A' ||. D'où l'on conclut le p. g. c. d. de tous les déterminants du degré k est le même pour les deux matrices || A || et I! A' ||. Ce sont là des conditions nécessaires pour que le système (I) admette des solutions. Mais ces conditions ne sont pas toutes indépendantes, comme cela résulte du théorème suivant:

Théorème XIII. — Pour que le système (I) admette une ou plusieurs solutions, il faut et il suffit que le rang p de i| A || soit égal au rang de II A' I! , et que le p, g. c. d. des déterminants du degré p soit le même pour les matrices i| A || et || A' ||.

Nous avons à démontrer seulement que ces conditions sont suffisantes. Or, par une substitution .

g, =: 7 ,ai,kVk,

et en remplaçant les équations (I) par des combinaisons convenables, on peut obtenir un système absolument équivalent

, (Cl»l+Ml = 0, «2^2 + "2 = 0, ..., epVp-\-Up = 0,

Dans cette transformation les rangs de ii A i| et de || A' || se conservent, de même que les p. g. c. d. des déterminants du degré k. Puisqu'on suppose que le rang de !i A' || est =p, les déterminants du degré p -\- l

CiCg. . . epWp+i, «1^2 . . . epMp+2, ..., e^e.^. . .fpUm doivent s'annuler; donc

Mp + l = Mp+2 = -- = Mm = 0,

ce qui montre que les équations (II) ne sont pas incompatibles. De plus, les déterminants du degré p de la matrice || A'|| transformée

Cj ^2 • • • ^P » î*l ''2 ^3 • • • ^P » ^1 ^2 ^3 • • • ^P > • • ■ » Cj ^2 • • • ^P — 1 "p

doivent être divisibles par e-^e^. . . ep. Donc «^ , «g > • • ■ » «p sont divisibles par «"i, «"2, . . . , Cp respectivement, en sorte que les équations (II) sont satisfaites par des valeurs entières de v^, v^, ...,Vp. C. Q. F. D.

La plupart des résultats de ce Chapitre sont dus à M. Smith; un seul, le théorème VIII avait été obtenu antérieurement par M. I. Heger. Le même sujet a été repris ensuite par M. Frobenius qui a introduit la forme bilinéaire. Le Mémoire de M. Frobenius contient encore d'autres applications intéressantes à la théorie algébrique des formes bilinéaires.