Je vais considérer d'abord l'intégrale
(1) . . . . / (cosM -f- asiuM)*" sin"Me~^"du=:/"(w, n),
m et n étant des entiers ^ 0.
En développant
(cos M + o 810 ")*" sin" u,
suivant les sinus et cosinus des multiples de u , il faut distinguer deux cas , selon que m-\-n est pair ou impair.
Dans le premier cas on obtient une expression de la forme
o -}- a' COS 2u -)- a" COS 4u + • •+ *'^'*^ COS {m-\-n)u /S' sin 2m + )?" sin 4« + . . . + /?^^) sin (m + n) m,
et dans le second cas une expression de la forme
a cos M -f- a' cos 3 M + ... 4" a^''^ COS {m-\-n)u, + /8 sin M + /î' sin 3 M 4- ... 4- /jW sin {m 4- n) m.
Ayant ensuite
cospue-*'*dM = -^— j— -g» / sin j?M6~'"*dM= „ J „> 0 0
on reconnaît que f{m,n) est une fonction rationnelle en x, dont le
dénominateur est du degré m + w + 1 , et le numérateur d'un degré inférieur àm + « + !• Ce dénominateur est pour m-\-n pair
= x{a^ + 2^)ia^ + 42) . . . ja^ + (w + n)H , et pour m -\-n impair
= {x^+ 12) (a^ + 32) (a:2 + 52) . . . \x^ + {m + nfl- On voit par là que f{m, n) est développable en série convergente suivant les puissances descendantes de x, tant que x est suffisamment grand (a? > m + w). Or pour obtenir directement ce développement , il suffit d'écrire
(cos« + «sinM)'"sin"M = M" + «i"""^^ + a2M*'+^ + • . ■ , d'oîi l'on conclut
Par conséquent le numérateur de f{m, n) est du degré m et le coefficient de x"* est 1 . 2 ... n. En écrivant
i B = X (a^ -f- 22) (a;2 |. 42^ |^2 j (^ | „)2 j lorsque m -\- n pair, ^ ' I B = (a;2 ^ 12^ (a^ | 32) ja;2 | („j |. „)2| lorsque w + w impair,
le numérateur A est par conséquent un polynôme du degré m en a;, le coefficient de x'^ étant l'unité.
Voici maintenant ce qui paraît être la manière la plus simple de définir ce polynôme A.
A est le dénominateur de la fraction continue
1 (ot— l)(w + 2)(a2 4-l) (w — 2)(n + 3)(a2 4-l)
Ainsi pour
m = 2, A = (a; + na) la; + (n + 2) a} -f (w-f- 2) (a2 + l), &c.
2. Pour établir ce résultat, je remarque d'abord que l'intégration par parties donne
/g— lU (cosM -f-asiiiM)"* sin"ue-*"dM = (cos u -j- a sin m)"* sin"it +
-j /e-*'*[n(cosM-{-asinM)'" sin"-iMCOSM +
-f m (cos M + a sin m)"-! sin" u (a cos u — sin m)] dw.
La quantité entre [ ] qui multiplie e~=^" sous le signe / dans le second membre peut s'écrire
(cos M + a sin m)"*-^ sin"-! m |n (cos u-\-aain u)^ -f" + a (w — n) sin u (cos m + a sin m) — m (o^ + 1) ein^ u\ , en sorte qu'on obtient
xf(m, n)^a(m — n)f{m, n)-\-nf(m-{- 1, n — 1) —
lorsque n>0, et pour w = 0,
(5) . . . xf(m,0) = amf(m,0)-{-l — m(a^+l)f(m — l,l).
On voit que la relation (4) reste encore vraie pour n=:0, si l'on adopte cette convention de remplacer alors
nf(m-\- 1, n — 1) par l'unité ; c'est ce que nous ferons désormais. On a ainsi
(6) lx + a{n — m)]f{m,n) = nf{m-\-l,n — l) — m(a^-{-l)f{m—\,n+l),
et cette relation reste vraie même pour n = 0 ou m = 0. Posons
qp(m,n)
nf(m-\-l,n—l)
donc
la relation (6) pourra s'écrire
' x-{-na
<P(m,n) x-\-{n — m)a + m{n-\-l)(a^-\-l)<p{m — l,n+iy
d'où l'on conclut pour »w = 0 la valeur explicite de <p{0, n) et dans le cas général :
La valeur de ç>{m, n) est donc de cette forme
P (m , n) =: a;"* 4" ••> Q (»w, «) = a;'"+^ 4" • • • > étant des polynômes des degrés m et m -{- 1 respectivement Lorsque n = 0, la formule (7) donne directement la valeur de l'intégrale
(cosM -t-asinu)'"e~^"dM
sous la forme d'une fraction continue. Mais il est facile maintenant d'obtenir l'expression générale de f{m , n). En effet ayant
f{m, n) = nqj{m, n)f(m-{- 1, n — 1), on en déduit
f{m, n) = 1 . 2 . 3 . . . n . 9» (ot, n) 9? (m + 1, n — l)...<p(m-\-n — 1, l)f{m + n, 0) , = 1.2 n.q>(m,n)q>{m-\-l,n — 1) ... 9? (w + « — l,l)(p{m-\-n,0),
ou encore
/(m.n)=l.2.■...^i^x-^;"^+^"-;;x■..xg^j:-^g•
Mais si l'on écrit les fractions continues, on reconnaît immédiatement que
en sorte que l'expression précédente se réduit h
,ns f, N 10 P(m,n) , - Q(m— l.n + l) (9) . f(m , n) = 1 . 2 . . . M . pr- r— ^m = 1 • 2 . . . w . ^-^, r-^ — jr~-
C'est là le résultat que nous avons annoncé; il est à peine nécessaire de dire que Q (w + «> 0) = B.
3. On obtient des résultats analogues en considérant l'intégrale (cosh M -f a sinh m)"» sinh" ue-'^" dM =: F (w , w) ,
et il suffira d'indiquer ici les résultats auxquels on est conduit ,
iF{m,n) 1 m(n-\- l)(a^— 1) nF(m+l,M — 1) x-\-{n — m) a -\- x -{- (n — m-\-2)a-\- (m — 1) (n 4- 2) (g^ — 1) 1 {n + m) (a^ — 1) x-\-{n — »w-f4)a+ '■ x -\- {n -\- m) a
et si l'on représente cette fraction continue par
on a
. .F(jn,n):
la valeur de
Q(>w + n,0) étant
. ou
(wî + nfl
selon que »n + m est pair ou impair.
Il est à remarquer toutefois que la condition que m et n sont des entiers, n'est point nécessaire ici, car si l'on suppose a ^ — 1, cosh u-\-a sinhw, ne s'annule jamais et m peut même être négatif. Ainsi si l'on prend w = 0 et qu'on remplace m par — w, la formule (10) donnera
'du 1 m(l— o2)
(cosh u-{-a sinh u)"* x -{■ m a -\- x -\- (m -\- 2) a -\- (14) . . fo
( aj + (m + 4) a + a; + (m + 6) a -f
Il serait facile de démontrer que cette fraction continue est convergente si l'on suppose
mais ici nous laisserons de côté systématiquement les questions de convergence , sur lesquelles nous reviendrons dans une autre occasion.
Dans la suite nous aurons besoin d'un cas particulier de la formule (14), posons a = 0, m = 2,
/oo /-oo 1 12 2 3 3 4-
J ^ a;+ x+ a;+ ic-f '
on bien
ce qui peut s'écrire encore
(16) .y tgh«.--dM = ^-^^-^,-P27^-^3P2-p---...
4. Nous chercherons maintenant le développement en fraction continue de l'intégrale
j^/«^8inhJa«)^nMM^,„^^
J sinh (c m)
Il est clair d'abord qu'on a
sinh (aw) sinh (6m) ,
sinh (CM)
et l'on reconnaît facilement que a* est un polynôme homogène du de gré k en a^, b^, (?. On en déduit
et l'on pourra par conséquent développer I en fraction continue de la manière suivante
C'est ce développement que nous voulons obtenir.
Voici une première observation dont nous aurons besoin. Lorsque a
, . , , . sinh(aM) ,
est un multiple exact de c, a = nc, on sait que . . . — r est un polynôme du degré n — 1 en coshc, ou encore sinh (a m)
sinh (cm)
= a cosh (w — 1) CM -f- a' cosh (n — 3) cm + a" cosh (n — 5) cm -|- ... ,
et il est très facile de conclure qu'en ce cas I est de la forme 7^,
Pn étant un polynôme du degré n — 1 , Q„ un polynôme du degré n en a^. Ainsi dans ce cas on doit avoir f*n = 0 et la fraction continue est finie. Il est clair qu'il en est de même lorsque b = nc.
D'après la formule (16) il s'agit de réduire en fraction continue la série
g__J: ii i 3. ^ 4.
Pour cela on calculera d'abord
et d'après ce que nous avons dit des a*, il est clair qu'aussi Pk sera un polynôme homogène du degré k en à^, b^, c^. Mais nous venons de voir que pour a^ = c^ ou b^ = c^, /Sg, /?,,, /8^, • . . s'annulent. Donc fio» fiât ^n •■• sont tous divisibles par (c^ — a^) (c^ — 6^) et d'ailleurs ^2 ^^ peut s'en distinguer que par un facteur constant.
En posant donc
on aura
y]t étant homogène et du degré k en a2, d^^ é. On en déduit
bu étant encore du degré k en a^, b^, é. Or d'après ce que nous avons dit ^2) ^31 ^4) •••) doivent s'annuler pour a^ = 4c^ ou \p'^=^(?. Ces coefficients sont donc tous divisibles par (4c^ — a2)(4c^ — 6^) et ^2 "^ peut en différer que par un facteur constant. En posant donc
l:Si = rB2 + <5i-<52S2, on aura
^2—3^2 a^-Ta^ a^'T'"-' «A étant encore homogène et du degré k en o^ 6^, ê.
Il est clair que l'on peut continuer ce raisonnement , pour arriver à ce résultat que dans la fraction continue (17) on a nécessairement (si l'on fait encore attention à la symétrie par rapport à a et 6) ,
Pn, în, r„ étant des quantités purement numériques. Pour les obtenir je pose d'abord c=:0, ce qui donne
r sinh (a ul^sinh (6 m) ^ , „ ^ ^ ^ J M
, ab rjO^ô^ r^a^b^
+ af + q^.ia^-fb^'ï— W+^q,(€^^b^)- a^ -\- qoja^ +¥) — ' ' * '
mais l'intégrale définie est égale à
, /■" cosh (a + 6) M — 1 ,„ , 1 f"^ cash ia — b) îi — 1 , "o 'o
et en développant les cosh suivant les puissances de u on trouve sans difficulté que la valeur de l'intégrale est
Or le développement en fraction continue de ce logarithme se déduit par un simple changement de lettres de celui bien connu de
Mm
et l'on obtient ainsi
ab ia^l>' |§a-62
par conséquent
qn--ï, r„-^^^^-
Pour obtenir pn po.sons « = 6=1, c = 2, il viendra
f" t h -xui —^ 1 1.22.3 3^41-5
/ ^^""^ '*" - x'-{- 4po - 2 - x2 + 4pi -'2 - a? + 4p, - 2 - " ' ' '
et la comparaison avec la formule (15) donne
4p,. — 2 = 2(2n4- 1)-, donc p„ = 2n2 + 2n+ 1. Il 26
Ainsi nous avons
l^ 8mh (au) smh (bu) ., ab fi,
^'''' ■ ./ sinh (CM) ^ "*" ~ ^T^=^ x^+l,- ^ + V=^ ■ ■ ■ '
A ce résultat j'ajouterai le suivant qu'on obtient d'une manière analogue :
(19) . . . rb'^^h--du=\-\-^
J sinh (bu) X-}- x-\- x-\
Pour a=: 1 , & = 2, on obtient un résultat qu'on déduit aussi comme cas particulier de notre formule (14).
