L'intégrale (19) peut s'exprimer à l'aide de la fonction
' y>(x)= [logr(.T)],
et il en est de même de l'intégrale (18) dans le cas particulier c^=a-]-b. Nous allons indiquer les résultats qu'on obtient ainsi , mais pour abréger, nous omettons la déduction qui, du reste, n'offre pas de difficultés. Considérons d'abord l'intéarrale
r» sinh (26— 1) M „,„ , J smh u
elle est égale à
l.yj(x^b)-l>p{x+l-b).
Le développement en série suivant les puissances descendantes de a; est
x ^ ' :i^ "'" .7* ''" x' -^•■•• On a introduit ici les polynômes de Bernoulli
Le développement en fraction continue est
(20) . l'l'{^ + b)-ly'{x-\-i-b) = ^-^^]^ J^ ^^...,
En second lieu l'intégrale
/■'' 2sinh(6M)ainh(l — &)m „,„ ,
I 9inh ti
est égale à
l Iv {^ + b) + ./' (x+l- h) - y. (x) - v {X + 1)].
Le développement en série est
<7'i (à) <Pi{b) (Pr,{f>)
01^ a^ 'jf' ■ ■ ■ '
et le développement en fraction continue
19U \±ij — b) Pi Ql^ P2 Î2 P:\^ Qs
^'^^' • ■ ■" x'+ 1+ a;'-^+ 1+ x'+ 1+ xH""'
Si, dans la formule (20) on divise par ?> — l et qu'on pose ensuite 6= J, il viendra, en écrivant
4(2/i — l)(2n+ 1)' le développement en série est
oh Bj = J , B2 = a'u, . . . sont les nombres de Bernoulli.
On peut déduire de la formule (21) d'une façon analogue le résultat
(28) . . 4.^3 2? /-j^-w - 2a;- 2 = \ -M Sl^ JE'i A^ , ^ ' "(x + n)3 x-\-x-\-x-\-x-\-x-\-
le développement en série étant
6. Nous allons considérer encore l'intégrale (24) . f{a,fi,k)=l (8inhMcoshM)^F(a,|ô, 7, — 8inh2M)e-^»dM.
désigne la série hypergéométrique. Cette série n'est convergente que tant que s est < 1 tandis que dans la formule (24) l'argument de la série hypergéométrique varie de 0 à — oo . Mais on sait que
et un argument négatif est ainsi ramené à un argument positif et inférieur à l'unité. A la vérité il aurait fallu appliquer cette formule (25) dans l'expression (24), c'est simplement pour abréger l'écriture que nous ne l'avons pas fait.
Enfin dans le premier membre de (24) nous n'avons pas indiqué le paramètre / puisqu'il faudra supposer toujours (26) y = ^(a + ^+l).
Une intégration par parties donne
(27) . . . . «/"(a, /î, A)=r(8inhMC08hM)''L.e--'«dM,
L = A(co8h2M + siDh2M)F(a,^,j') — -~"^sinh2MCOsh2MF(a+l,|8 4-l,}' + l),
le quatrième élément dans les séries hypergéométriques étant toujours — sinh^ M.
On a d'autre part
0 = y{y—l)F{a—l,ti—\,y—l) — y[Y-l-i-(a-{-/i—l)ainYi'u-]F(aJ,Y)-^
-^afiBmh'^ucoBh-uF{a-{- ],^-f i, y -|- 1),
ou si l'on introduit la valeur y ^= ^ {a -\- ^ -\- 1),
(cosh'-^ ti + 9inh2 m) F {n, p,y) = F(a—l,p—l,y — l)-\- , a/S
sinh^M cosh'^ m F (o + 1, /J + 2, y + 1).
A l'aide de cette relation on peut éliminer F (a, p, y) de l'expression L, et l'on obtient ainsi cette relation
/ xf{a,^,k) = kf(a--[,(i-l,k-l)-
II faut supposer dans cette formule A>0, elle reste encore exacte pour A = 0 , à condition de remplacer alors
kf{a~l,p—\,k—l)
par l'unité.
On obtient maintenant sans difficulté le développement en fraction continue
^oq^ ___ /"(«' /S» ^) J Jo Ji Ja
^ ' ' • kf{a — l,/i—[,k—l)~x-^x-\-x+x + ""
^ ^ {a-\.n)(p + n){k + n-\-])ia-\-p-k-{-n-l) ^ " {y -\- n — i) (y -\- n)
et en particulier pour A; = 0,
(30). p|a,/J,i(«-+-^ + l),-sinh2M|e — dM = ^^-^^-^----
On pourra en déduire un grand nombre de formules plus particulières, dont quelques unes ont été obtenues déjà d'une autre façon.
