Soit en dernier lieu

(31) . f(a,(i,y)=zl siiih'- 1 MC08h« + /^-)MF{«,/ï,7, — 8inh'^M)e-'"dM,

les paramètres a, />', y étant arbitraires.

Une intégration par parties donne d'abord

X / 8inh»'MC0sh'^MF('/, /î, j')e- '"rfM= / sinh^'-^' Mcosh'^-' mLc ■'"dM, 0 'o

L = (cosh'^ M + g sinh''' u) F (a, />',;') — 2 " '^ siiih" m cosh" 2t F (« -|- 1 , /i + 1 , j- -f 1 ).

Mais on a

+ " ^ sinh- M cosh- m F (a + l, /i + 1, ,- + 1). Or en introduisant les valeurs

p — y — l,q = u-}-li — y

on a

p cosh" u-\- q sinh'-^ m = j- — 1 + (" + /^ — 1) sinh'-' u,

L = (;■ — 1) F (a — 1, ^ — 1, ; 1)— "^ sinh''iMC08h"''î<F (a + 1, /? + 1, /+ 1),

d'où l'on conclut

(32) . xr(a,fi,y) = (y-l)nn-l,fi-l,y-l)-''^-^r(»-\-Uli+hY-{-l),

et si l'on pose

•P (", /*, ?') = I '/' (". fi, y) =" ,

{y-l)na-l,fi-l,y-l)'

JL^

a; + «>7.T" + 1,^"+ !/?' + !)' en sorte qu'on obtient le développement en fraction continue

/■(«. ^^rL ... .... L «^ (« + 1) (^..-i- D ^« + 2) (/« + J2)

Le rapport

est donc indépendant de y. Pour obtenir alors la valeur de ce rapport sous une forme plus simple on pourra poser y^= fi, ce qui donne

F (a, fi, y, — sinh- w) = coah'-^'^u, et l'on trouve

/ 8inh/'-'Mcosh"-«Me-^"dM

t I ^ K ir \

{y—l)f{a—\,fi—l,y — l) (^ i) p8iuh/î-2MC08hi-«Me-^'' du

Si l'on substitue cette valeur dans la formule (^3) on obtient un résultat qui se déduit aussi de la formule (10) en prenant a = 0, m = — a, w=jô — 1.

Note sur quelques fractions continues.

(Q. J. Math., London, 25, 1891, J. 198 — 200.)

1. M. Hermite obtient dans son Cours de la Sorbonne (4'*"® Edition, p. 116) ce résultat élégant

En posant