SUR UNE APPLICATION DES FRACTIONS CONTINUES

Mais cette fonction F (z) existe en réalité dans tout le plan et y est partout régulière. Elle admet seulement comme ligne singulière le

segment de l'axe réel entre a; = -r et .t = oo .

C'est ce qui résulte de nos recherches sur les fractions continues dont nous avons terminé la rédaction. En effet , on a

où

, . , An— iBn , An4-lB»,i

Oo = A,, 02n-l=-T — p > 02n = T 5

A„ Dn — 1 A n Dn

On démontre que cette fraction continue est convergente dans tout le plan et y représente une fonction analytique avec le caractère que nous venons d'indiquer.

En général , c'est à-dire tant qu'on n'introduit pas de nouvelles conditions restrictives relatives aux coefficients c», la partie de l'axe réel

entre a; = -r et aj = oo est une véritable ligne singulière et l'on ne peut pas

continuer analytiquement la fonction F (z) en traversant cette ligne. Mais, dans des cas particuliers, les choses peuvent se simplifier, et c'est précisément sur un cas de cette nature que nous voudrions appeler l'attention ici.

L'étude du beau Mémoire Sur les équations de la Physique mathématique , que M. Poincaré vient de faire paraître (Comptes rendus de la Société mathématique de Palerme , t. VIII), nous a suggéré l'idée de poser cette question : dans quel cas la fonction F (z) est-elle méromorphe dans tout le plan ?

La réponse est d'une simplicité inattendue.

Pour que la fonction F{z) soit méromorphe dans tout le plan, il faut et il suffit que l'on ait, pour n = co,

lim bin— 1 = lim 62*1 = 0.