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JL 1

:(!+«) Il

La fonction

est finie et con-

2 Mt<;a-«^1 2 4- î<e'^<i+«' — 1 tinue dans le voisinage de m = 0, et, en appelant M sa valeur pour une certaine valeur de u comprise entre 0 et e, nous avons

sin iji nre \nnr

\ ^ 9 7-T dv= +/ +Ml£

En faisant croître n indéfiniment, les intégrales

f'^-e iav dv cos iji nrv , r=^ iav dv cos innrv

convergent vers zéro ; donc

r^ iav dv 1 — cos 4:71 nrv

p-^iavdv 1 . r^éav dv 1 , „

j 1 — ^2^ g45t'roo ]^ ' j 1 î;2" g4;i'ro»i ' ^'

et , en faisant tendre vers zéro s ,

"^iavdv 1 — cos47in?-w , r'^iavdv 1

— — , dv = v. p. / ^, —

Lira / -Tj 9

j;2 g4.T'roi- J

L'équation (88) conduit donc à cette expression de J^,

f-iavdvf^sr^ 1 \ „ ^ r^ ««^ ^«^ pf 1__

34. En faisant usage maintenant, dans la formule (87), de l'identité

nous retrouvons la série semi-convergente (86) avec cette expression du terme complémentaire

=° 4at;2»+idi; p/ 1

En effet, on trouve

(90) .... Pz;2*-ip( -J — ]dv =

l Bi 1 4 2k{2k)\ a?" '

en substituant pour la fonction P la série qui sert de définition et en faisant usage de la relation connue

ce ^2k-\^^ ^B^ 1

,2m nv

35. L'expression du terme complémentaire que nous venons d'obtenir donne facilement la résolution approchée de R„ := 0. On a

inji' av

fin) désignant le nombre des diviseurs de n. Mais, quand il s'agit de développer la racine de R„ = 0, suivant les puissances descendantes de n, on ne doit retenir que le premier terme e"'^"^'"^. Après les explications du n'' 16, où se présentait un cas analogue à l'occasion du développement de logr(ai), il ne semble pas nécessaire d'insister plus longtemps sur ce point, car cela reviendrait à répéter à peu près ce que nous avons dit là. La résolution approchée de

/•" v-" + ^ «-■'"'""du ^

se déduit aussitôt du résultat du n° 8 , par un simple changement de lettres , et il vient

(93) ...... »» = 2^^a-y2-2592Ôl^.

et la valeur approchée de E„ , en posant 2 ji" a =: w + »/ ,

On peut, du reste, négliger le petit terme 2592^^ ^^"^ ^^S), et

prendre ainsi simplement 2n^a — ^g pour valeur approchée de la racine de R„ = 0.

36. Les expressions précédentes montrent l'extrême approximation que la série semi-convergente permet d'obtenir. L'ordre d'approxima-

tion est g"*""" 1/ — , et déjà, pour a= 1, l'erreur ne porterait que sur

la dix-septième décimale. Aussi nous prenons pour exemple cette valeur beaucoup plus petite a= ^. On trouve N = 4,52 : il faut donc prendre quatre termes et ajouter encore le cinquième terme , multiplié par une fraction k approximativement égale à 0,52. On obtient ainsi

et , pour X = 0,52 ,

le valeur exacte est

L'approximation avec laquelle nous avons résolu l'équation R„ = 0 ne laisse rien à désirer.

(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 167 — 176.)

/a e'^ dx.

Lorsque la fonction f{x) devient infinie pour une valeur a; = c comprise entre a et 6, cette circonstance peut ôter toute signification précise à l'intégrale

Çnx)dc

Comme on sait , Cauchy a introduit dans ce cas la considération de l'expression

r~'f{x)dx-\- ( f(x)dx.

Il peut arriver que cette expression tend vers une limite déterminée lorsque la quantité positive e tend vers zéro, cette limite est alors appelée par Cauchy la valeur principale de l'intégrale

/b rc— t fb

f{x)dx = Um / f{x)dx-\- f{x)dx.

Cette extension de la conception d'une intégrale définie n'est pas généralement admise, on l'a souvent rejetée à cause de sa nature trop arbitraire ou artificielle,

Riemann, dans un mémoire célèbre (Werke, p. 226) s'exprimait de la manière suivante :

„Dans certaines recherches particulières , d'autres déterminations de Cauchy sur la conception d'une intégrale définie dans les cas où celle-ci n'existe pas d'après sa définition fondamentale, peuvent être utiles, mais elles ne sont pas généralement admises , leur nature trop arbitraire ne s'y prêtant guère d'ailleurs."

La valeur principale d'une intégrale étant une quantité nettement définie , il semble que l'admissibilité d'une telle idée doive dépendre surtout de l'utilité qu'elle peut avoir. Nous croyons que les développements suivants montrent clairement, par un exemple, que les „recherches particulières" où la conception de Cauchy est de la plus grande utilité (ou plutôt nécessaire , si nous ne nous trompons pas) , ne manquent pas.