r /'e-»(^'+V) -^ [D Or»a3'' 2/*] dx d

L'intégration s'étend de x = e^\ et de y = 0 jusqu'à certaines valeurs positives de a; et de y, que nous pouvons déterminer maintenant par la condition que la série i:.ars x" y^ soit absolument convergente. Il

Fig. 8.

n'est pas même nécessaire d'étendre le champ d'intégration aussi loin que possible, et il reste un grand arbitraire dans cette détermination. La seule chose essentielle à remarquer , c'est que cette détermination ne dépend en aucune façon de n. Les coefficients Ors sont des polynômes en r] et ars=0 lorsque s est impair (Fig. 8).

30. En traitant d'une manière analogue l'intégrale Q, nous définissons d'abord une fonction (p^ (x) pour les valeurs positives de l'argu-

ment en posant

t variant de 1 à oo . Puis nous posons

ue-

1 — U-\- V = — (pi (x).

Le long de AM (Fig. 7) x est positif infiniment petit , ?/ varie de 0 à 00. Le long de AU, y=:0 et x varie de 0 à oo . En achevant le calcul comme tout à l'heure , il vient

e-''" dudv

\J J[l-\-vl 1— « + v Kit^

L'intégration s'étend encore de a; = e }^^ , y = 0 jusqu'à certaines valeurs positives de x et de y. Nous pouvons maintenant , dans les formules (76) et (77), étendre l'intégration jusqu'aux mêmes limites supérieures de x et de y. En réunissant les intégrales, les parties qui deviennent infinies pour « = 0 disparaissent , et il vient

^'"^'J J\l-\-vj 1-u + v Vt^

Dans le second membre, l'intégrale

r Te - » (^' + !/') a;"2 »• j/2 » (i a; d y ne diffère de

r re-''<'^+tnx^''y^'dxdy

que par une quantité qui converge vers zéro plus rapidement qu'aucune

puissance négative de n, et nous obtenons enfin le développement cherché

e *?" du dv n

9n( I ci3,o-\-ah2

Nous n'avons pas intégré, il est vrai, le long de toute la ligne de discontinuité ; mais , comme le résultat auquel nous arrivons reste le même en changeant dans une certaine mesure les limites supérieures de X et de y, on voit par là même que les parties un peu éloignées de A de la ligne de discontinuité n'ajoutent à l'intégrale que des parties qu'on doit négliger tant qu'il ne s'agit que d'un développement suivant les puissances descendantes de n.

31. En exécutant les calculs que nous venons de décrire, nous avons trouvé

et de là nous concluons la résolution approchée de l'équation E„ =: 0 par l'une ou l'autre des formules

^ 3240 a Pour avoir une idée de l'approximation obtenue , nous avons calculé

la racine de l'équation

1 J-^^-L-i'*- L — ol/ZiZ

pour n=: 1, 2, 3, 4.

Voici les résultats :

, J^ , 1 Ji- 3^..(2w — 3)2 ■^ 1 . 8a "*" ■ • ■ "^ 1 . 2 . ..(?( — 1) (8a)»- 1

Racine

Valeur approximative

de R„ = 0.

d'après (80).

Erreur.

Pour de plus grandes valeurs de n, l'erreur diminue encore, et les formules (80), (81) suffisent pleinement à notre but.

Riemann , en donnant la série semi-convergente, écrivait

J(aî)6 ^2^^ 2^ l.2...n(8aj"~'

et il ajoutait qu'on ne peut calculer ainsi J (ai) qu'en négligeant des parties de l'ordre e-^a vis-à-vis de l'unité. Le résultat auquel nous sommes arrivé confirme et précise ces indications.

Etude de la fonction P (a) = "S^ -^

32. Nous allons étudier maintenant à notre point de vue le développement en série semi-convergente donné en 1861 par M. Schlômilch de la fonction

(Zeitschrift fur Mathem. und Physik , t. VI).

En suivant d'abord l'analyse de M. Schlômilch , nous partirons de ces formules

r" sin m u

(83) ■ ■ -j — ^2^u:^i ^-=im+llog(l-e-'«)-^logJ«,

dont la première se trouve dans les Exercices de Calcul intégral de Legendre (t, II, p. 189). On peut l'obtenir sans difficulté à l'aide du développement

La formule (83) se déduit de (82) par une intégration par rapport à m.

En remplaçant m par — , —,..., — , on déduit de (82)

1 ga 1

. r"" du „ / . M , . 2m , , . 2wM\

/ ^'±<* — 2 sin — + sin h--- + sm--—

et

2 sm h . . . -f sm = sin ^ 1 — cos cot ^r--

Va' ' a/ a\ a I 2.a

En ajoutant à cette équation celle-ci, qui est une conséquence de (83),

("^ 2nu

0 = — alog2n + n-f aloga-f a.log\l — e " } — 2a\

2jiu

on obtient

^ -^^^=a(l+2 +--- + 2^-log2MJ + aloga + alogU-e »'j 1 e« — 1

/2nM 1 — cos {2a . u\ a , cot^r- — -— --■ du.

En faisant croître indéfiniment n, l'intégrale

C^ du . 2nu

converge vers \ , et l'on obtient

(84) P(a) = a(loga-f 6) + i-J,,

/2nu 1 — cos 2a . u\ a , cotrr— — s du \u 2al e""''—!

OU

/•*/2 .«\1 — cos2wM,

(85) .... .J„ = aj U-cot^)-^^^^^,rrr^"-

C'est en développant -- — cot h", suivant les puissances croissantes

de M, que M. Schlômilch a d'abord obtenu cette série semi- convergente remarquable

(86) . . Joo = 2:2!a + éTïl^s + • ' • + 2 « . (2«)"! a^»-! + ^"-

Mais il s'est glissé une erreur dans cette analyse , et le résultat obtenu' par M. Schlômilch , que R„ ne surpasserait jamais en valeur ab-

solue ^ T„^-i, est nécessairement mexacte d'après les remarques que

nous avons développées dans l'Introduction. •

Dans le Tome II de son Cours d'Analyse, M. Schlômilch est revenu sur cette série , en la rattachant cette fois à la formule sommatoire de Maclaurin , il arrive à ce résultat que la valeur absolue de R„ ne peut surpasser

33. Pour discuter cette série à notre point de vue, nous nous servirons de cette formule

Nous devons indiquer d'abord comment on peut passer de la formule (85) à la formule (87).

A cause de

u *^ 2 — 2^4^2r2 — u2' on obtient d'abord

"-X/ Id

°° iaudu 1 — cos2nM

"-1.J ir-

'"iavdv 1 — coa4:Jinrv

«2 .ln>ra« -i

Maintenant on a

j'^ iav dv 1 — cos innrv f^~^ \ f"^ m f^^^

] T^r^^ gï.va»i -J +J +J

et, si nous posons pour abréger 4:nr = b, 4:n^ra=:c, '•^+« iav dv 1 — cos nbv

/•!+« iav di J T^=^2

du

: / 4 a '^^ (1 — cos n 6 m) J M