Soit

A(2). fli^)' /3(«). •••

une suite infinie de fonctions analytiques, toutes holomorphes dans un cercle G tracé autour de l'origine avec un rayon R. On aura donc

ces séries étant convergentes tant que | z | < R. Considérons la série

GO

nous la supposerons uniformément convergente pour \z\ ^Rj, c'est-àdire à l'intérieur et sur le contour d'un cercle C^ tracé autour de l'origine avec un rayon Rj plus petit que R.

Soit encore R' un nombre plus petit que R, mais pouvant différer de R aussi peu qu'on le voudra. Nous supposerons encore que le module de la somme

admet une limite supérieure L, quel que soit n et quelle que soit la valeur de z à l'intérieur ou sur le contour du cercle C, tracé autour de l'origine avec le rayon R'. Il peut arriver, du reste, que ce nombre fini L croisse au delà de toute limite lorsque R' tend vers R.

Dans ces conditions , nous allons démontrer le théorème suivant :

La série

est uniformément convergente pour | z | ^ R'.

Et l'on peut ajouter, d'après un théorème connu de M. Weierstrass , que nous avons appliqué déjà plus d'une fois (n°^ 15, 17), que cette série représente une fonction holomorphe dans le cercle C. C'est du reste ce qui résultera aussi de notre démonstration.