Nous venons de voir que la série

est convergente ; plus généralement , on a

D'abord la série considérée est bien convergente, car la somme

diffère aussi peu qu'on le voudra de

M,x\+M,xi -]-... -\-UkxU par conséquent, elle sera inférieure à

et, à plus forte raison, inférieure à Ci-J-£, puisque

Ci=^M.kxi.

Soit donc

on aura o < d. Déterminons un nombre m tel que

e étant un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on aura

(6) . a=^fik^l-{-e',

e' étant plus petit que e. En effet ,

^mf Àm + Ï^^^ ^m-\-\*^ Am + 1

D'autre part , on a

et il est clair que

.*^ Am + l'*^ Am + l

(7) Ci=^MkX\ + E",

e" étant plus petit que «.

Or, pour n = 00 , on a

dès lors la comparaison des formules (6) et (7) montre qu'on a

a = Ci C.Q.F.D.

24. Il suffira d'énoncer les conclusions analogues résultant de l'étude de la formule

F2n + l(g) Nq , Ni , , N„ ^

Q,2n+\(z) 2 ' 2 + a;i ■ ■ ■ ' 2 -|-a;„' en cherchant ce qu'elle devient pour n = oo . On aura

VA = limNt (4 = 0,1,2,3,...),

ek = \\mxk (k= 1,2,3,...),

Q2„ + i(3) q^iz) 2 *Àmrz-\-tik

Considérons sur une droite infinie OX . . . une distribution de masse (positive), la masse nii se trouvant concentrée à la distance !< de l'origine 0. La somme

peut être appelée le moment d'ordre k de la masse par rapport à l'origine.

Il résulte alors des formules précédentes que le système des masses

a pour moment d'ordre A; la valeur Ck (A; = 0, 1, 2, 3, . . .). De même , le système des masses

{vi,9i) (/ = 0, 1,2,3,...),

où 00 = 0, aura les mêmes moments c*.

Nous appellerons problème des moments le problème suivant:

Trouver une distribution de masse positive sur une droite (Ooo), les moments d'ordre A (4 = 0, 1, 2, 3, . . .) étant donnés.

Désignons ces moments par Ck, et remarquons d'abord que ces données de la question doivent satisfaire à certaines inégalités.

En effet, nous supposons qu'il soit possible de trouver des m<, I,-, tels que

il s'ensuit (voir la fin du n" 8) que tous les déterminants

Cp + l

Cp + l Cp + 2

Cp-\-m — l Cp-{-m

Cp + m-1 Cp-\-m ••• Cp + 2m — 2

doivent être positifs et, en particulier, les déterminants A„, B„ du n" 11. On en conclut que, si l'on réduit en fraction continue la série

on doit obtenir une fraction continue du type que nous étudions avec des valeurs positives des a,.

Cela étant , nous distinguerons deux cas dans le problème des moments le cas déterminé et le cas indéterminé.

Le cas indéterminé a lieu lorsque les données c* sont telles que la

série

Un

est convergente.

Il est facile de justifier cette dénomination : en effet, nous venons de voir que dans ce cas le problème admet au moins deux solutions , soit par le système des masses (/*,-, Xi), soit par le système des masses (v,, Oi), et, dès lors, il est facile de voir qu'il y a une infinité de solutions. Nous montrerons plus loin qu'il y a même toujours une infinité de solutions dans lesquelles la masse est distribuée sur l'axe d'une façon continue avec une densité finie en chaque point.

Le cas déterminé a lieu lorsque la série

est divergente. Nous montrerons en effet que, dans ce cas, le problème des moments admet toujours une solution et une seule.