Considérons maintenant une suite infinie de fonctions

holomorphes dans une aire quelconque S, dont nous désignerons le contour par s. Nous supposerons que la série

^fkiz)

soit uniformément convergente à l'intérieur et sur le contour d'un cercle Cj décrit autour d'un point z^ de S comme centre avec un rayon Rj , ce domaine de convergence n'ayant aucun point commun avec s. Nous supposerons ensuite que le module de la somme

rA^)+rA^) + ---+rn{z)

admet une limite supérieure indépendante de n dans toute aire S' intérieure à S et sans point commun avec s.

La série

est uniformément convergente dans S' et représente une fonction holomorphe dans S.

II est aisé de déduire ce théorème de celui qu'on vient de démontrer. Décrivons autour de Zq, comme centre , un cercle C avec le plus grand rayon possible qui ne déborde point en dehors de S. Soient R > Rj le rayon de ce cercle, R' < R le rayon d'un cercle concentrique C qui ne déborde pas en dehors de S'. Il est clair alors que nous pouvons appliquer le théorème démontré et conclure que la série considérée est uniformément convergente dans C, et représente une fonction holomorphe dans C. De cette façon on a étendu le domaine de convergence de la série du cercle Cj au cercle C. Soit maintenant «é "" point quelconque à l'intérieur de C, décrivons autour de ce point un cercle Cj avec un rayon R( qui soit entièrement à l'intérieur de C. Alors on voit que la série est uniformément convergente pour | z — z'o j ^ R'^. On pourra donc répéter le même raisonnement que nous avons fait pour le point Zq et le cercle Cj , et , en continuant de cette façon , il est clair qu'on finira par reconnaître que la série

est uniformément convergente dans toute aire S" intérieure à S' et sans point commun avec le contour de S'. En même temps il est évident que F (z) est holomorphe. C'est là le théorème énoncé, la substitution de S" au lieu de S' étant sans conséquence.

On sait que le maximum du module de f^{z)-\- . . . -\- fn{z) dans S' a toujours lieu sur le contour de S'. Dans l'énoncé de notre théorème on aurait donc pu exiger seulement que le module /j (s) -}- . . . -\- fniz) sur le contour de S' reste inférieur à un nombre fixe.

Enfin, il serait facile de généraliser notre théorème au cas où il s'agit d'une série dont les termes sont des fonctions de deux variables imaginaires.

31. On peut donner à notre premier théorème une forme un peu plus générale en considérant une suite de fonctions

holomorphes pour r < J z 1< R et par conséquent développables en séries

f,{z) = J^Afz\

convergentes pour

Quoique les raisonnements soient absolument analogues à ceux que nous avons exposés, nous devons cependant les indiquer rapidement, parce qu'ils donnent lieu à une remarque qui nous sera indispensable dans la suite.

Nous supposerons que la série

soit uniformément convergente pour rj ^ | 2 | ^ Rj

et ensuite si r' est un nombre quelconque surpassant r, R' un nombre quelconque inférieur à R,

nous supposerons que pour r' ^\z\^R' le module de la somme

admet une limite supérieure indépendante de n. Cela étant, on peut affirmer que la série

F(2) = £^AW

est uniformément convergente pour r' ^ | 2 | ^ R'.

En même temps F (2) est holomorphe pour r < | 2 | < R. On peut d'abord déterminer un nombre n tel que

pour ri ^ 1 i

! 1 ^ Rj. On en conclut

La?

d'où l'on voit que la série

est convergente.

Pour r' g I z 1 ^ R', on a

d'où

et ensuite

<pi

Ci|<^ et \ci\<jri-

On voit par là que la série

est convergente pour r < | z | < R puisqu'elle est convergente pour r'<|z|<R'.

Ensuite il est facile de voir que, e étant un nombre aussi petit qu'on le voudra, on aura

E Af

puis aussi

< — . et

Ri

< ï.r et

^ Af

32. On pourra maintenant , par un choix convenable de n et pour

r" ^ I z I ^ R" (r' < r", R" < R') , rendre

Pour cela on déterminera d'abord les entiers p et g par les conditions

Soit ensuite M le plus grand des deux nombres

,+çi+(^:j+...+f.r-r.

Rj \ Rj / \ Rj

-^/- + (^J + • • • + (-777-) et choisissons un nombre positif e' tel que

2Me'<4f-

Ce nombre e' obtenu , on détermine enfin n par la condition

tant que r^^z^ Rj.

Pour faire voir que ce choix de n satisfait, en effet, à la condition énoncée , remarquons d'abord qu'on aura

L Af

puis aussi

£ Af

Ensuite il vient

<^ et Ri'

£ Af

Pour ? " ^ j 2 I ^ R", on aura donc

F(^)-^A(^) <^^"' 2^ Af

Cette limite supérieure est égale à

£r"^ £ Af

+ 2^r"* ^ Af

et , par conséquent , inférieure à

c'est-à-dire inférieure à

c'est- à dire inférieure à s.

Il résulte de cette démonstration que dans le développement

F(z) = 2^Ci2',

le coefficient c, est la limite du coefficient de z* dans le développe ment de

pour n = 00 . Cette remarque nous sera utile plus tard.

33, Nous avons vu (n" 15) que, tant que la partie réelle de z est positive , la réduite

tend pour m = oo vers une limite F(z) qui est une fonction holomorphe de 2. La série

azk

Q2*:-2(2) Q2ft (2)

est uniformément convergente dans tout domaine S dans lequel la partie réelle de 2 admet une limite inférieure qui soit positive. Posons

on aura

c'est-à-dire

Admettons que 2 ait une valeur quelconque non sur la coupure , on

aura

Ui

2 + Xi

Je désigne par (2) le minimum du module de 2 -f" " lorque u varie de 0 à 00 en passant par toutes les valeurs réelles et positives II est clair que, lorsque la partie réelle de 2 est positive ou nulle, on aura

{z) = \z\, mais si , dans z^a -\- (ii^ a est négatif, on aura

(z) = 'J'- On voit que (2) est positif, non nul tant que le point 2 n'est pas sur la coupure. Puisque , par définition , on a

\Z + Xi\^{z),

il viendra

c'est-à-dire

^mz)

ai(z)

iQi

Considérons maintenant un domaine quelconque S qui reste à distance finie de la coupure; dans ce domaine (z) aura une limite inférieure A qui sera positive. Dans tout le domaine S on aura alors

et cette limite supérieure est indépendante de «.

Soit maintenant a un point quelconque du plan non sur la coupure ; nous allons montrer que la série

^fk(z)

est convergente pour z = a, et que la convergence est uniforme dans le voisinage de a, c'est à-dire dans un cercle G décrit autour de a avec un rayon assez petit pour n'avoir pas de point commun avec la coupure.

Prenons arbitrairement un point z^ et un cercle Ci dont Zq est le centre et qui soit tout entier dans la partie du plan où la partie réelle de z est positive.

Nous pouvons alors construire encore d'une infinité de manières un domaine S englobant les cercles C et Cj et qui reste à distance finie de la coupure. Dans ce domaine S le module de la somme

admet une limite supérieure indépendante de n, comme on vient de le voir. D'autre part, nous savons que dans le cercle Cj la série

F{z) = ^fk(z)

est uniformément convergente. Nous pouvons donc appliquer le théorème du n" 30 et affirmer que cette série est uniformément convergente dans S et partant dans Cj. Et, en même temps, nous savons que F (2) est holomorphe dans S.

Cela revient donc à dire que les réduites

tendent vers une fonction holomorphe F (2), tant que 2 n'est pas sur la coupure.