TA

29. Nous allons démontrer maintenant le théorème énoncé, en faisant voir en même temps que la somme de la série est F (z). Pour cela considérons l'expression

et soit R" un nombre un peu inférieur à R', la différence R' — R" étant d'ailleurs aussi petite qu'on le voudra.

Soit e un nombre aussi petit qu'on le voudra ; nous allons faire voir qu'on peut trouver toujours un entier n tel que

quel que soit n' et quelle que soit la valeur de z dont le module seulement ne doit pas surpasser R".

Voici en effet comment on obtiendra ce nombre n. Déterminons d'abord un entier p tel que

/R"np-M 1 1

Cela est possible puisque R" < R'. Soit ensuite

" /R"\2 lR"\P

et choisissons un nombre positif e' tel que

Ce nombre e' obtenu, on détermine enfin n par la condition

tant que | 2 i ^ Ri- Cette détermination est encore possible parce qu'on suppose que la série

J^niz)

est uniformément convergente pour ] z | ^ Rj. D'après les n°^ 26 et 28 on peut en conclure

hn'-J-l

Or on a

F(z)-^n{z)=Y,z'U-'^Ai

c'est-à-dire, si l'on se rappelle la définition de a,

On en conclut, tant que | 2 | ^ R",

Cette limite supérieure est égale à

Y^U"< £ Af

et, par conséquent, inférieure à

L^-'^ni+t^-'w

c'est-à-dire inférieure à

R' c'est-à-dire enfin inférieure à e.

Notre théorème se trouve ainsi démontré, car la substitution de R"

au lieu de R' n'a aucune importance.