Soit toujours 9? (m) une fonction croissante

ç>(0) = 0, <p(oo) = c, et posons

On définit ainsi une fonction holomorphe dans tout le plan , excepté la coupure, qui se compose de la partie négative de l'axe réel. Cette fonction cp (m) caractérise une certaine distribution de la masse totale c sur une droite OX.

Soit ç^i (m) une fonction de même nature que 95 (w),

9'i{0) = 0, 9Ji(ûo) = Ci,

et posons

Nous allons montrer que, si les fonctions F (s) et Fj (s) sont identiques, on peut en conclure que les fonctions 9? (m) et (Pi{u) caractérisent la même distribution de masse; ces fonctions ne peuvent différer qu'aux points de discontinuité, et peuvent être considérées comme identiques si l'on n'a en vue que la distribution de masse. Il est aisé d'abord de voir qu'on peut écrire

^ ' J (z + uf

puisque F{z)^<t>'(z) si l'on pose

^{z)=zl — J- j — ](p(îi)du.

Soient maintenant x un nombre positif, e un nombre positif que nous allons faire tendre vers zéro ; considérons , d'après l'exemple de M Hermite , la différence

Nous allons voir que, pour lim£ = 0, cette expression a une limite finie. Décomposons l'intégrale en deux

/■^ 2ei(p(u)du . r'' 2si(p{u)du J ^^^xf + e^-rJ (M a;)2 + £2-

Je dis qu'on aura

/■* 2ei(p(u)du . -. ,

/•"= 2Eifp(u\du . + .

En effet, écrivons

/•=" e(p{u)du i^x-^e s(p{u)du I r* e<p{u)du

on aura

r^-''^ ^ Ew(u)du ^ f ^ ^ eau l ^ x 1

/ ; SïT-i — 9 < c / ,- rs— j s =c arc tang — arc tang —,

J (m — xf-{-e^^J (m — xf-{-e^ \ ^£ ^[/

donc

D'autre part , dans l'intégrale

ecp

/■■* e(p{u)du

la fonction q>{u) pour a; — \^e ^ m < a; prend des valeurs qui sont infiniment voisines de (p (x). Il est vrai que la valeur de 93 (x) peut surpasser g)(x) d'une quantité finie, mais cette valeur de (p(x) n'a aucune influence sur la valeur de l'intégrale. Il est aisé de voir alors que cette valeur diffère infiniment peu de

donc

,. /-^ eq)(u)du ^ ~t \ 1- r eq>{u)du

On trouvera de même sans difficulté

,. /" eq}{u)du n + ,

et nous aurons donc

lim [* (— a; -f- « i) — * (— x — £ i )] ^ 7t i [çj (x) + 93 (x)].

Posons maintenant

on aura Fj {z) ^=. «l'I (2) , et , puisque nous supposons F (z) ■=■ Fj (a) , les

fonctions * (z) et 4>i (z) ne pourront différer que par une constante. On

aura donc

*( — x-{- ei) — *{— X — £z) = $1 ( — x-\-ei) — 4>i(— a; — si),

et , faisant tendre e vers zéro , on en conclut

(p{x)-{-(p {x) = <Pi {x) + <Pi {x).

Cette relation a lieu pour toute valeur positive de x tandis que nous supposons 99 (0) = q^i (0) = 0. On peut en conclure que les fonctions q){u) et 9?i (m) caractérisent la même distribution de masse. En effet , tant qu'il ne s'agit que de caractériser une distribution de masse , on peut prendre arbitrairement les valeurs de (p{u), (Pi{u) aux points de discontinuité Rien n'empêche donc de prendre toujours

De cette façon , on voit qu'on a pour toute valeur positive de x

(p{x)-=<p^(x), et , puisque 93 (0) = g?j (0) = 0, les deux fonctions sont identiques.