Soit

une suite infinie de nombres ; nous supposerons que ces nombres sont limités supérieurement et inférieurement.

Il en sera de même alors des nombres

et ces nombres admettent donc un maximum, ou limite supérieure L„, et également un minimum, ou limite inférieure In. Ce nombre L„ jouira alors des propriétés suivantes :

1° Aucun des nombres

W», Mn + l, M„-(-2, ...

ne peut être plus grand que L„.

2° Au moins un de ces nombres- est égal à L„, ou, si cela n'a pas lieu, on pourra en trouver au moins un qui surpasse L„ — e, s étant un nombre positif quelconque. Lorsque n augmente , L„ ne peut que diminuer, de même l„ ne peut qu'augmenter. Dès lors il est clair que, pour n = ao , on aura

limL„ = L,

lim l„ = l,

Voici maintenant les propriétés du nombre L : I. Les nombres

à partir d'un certain rang, sont tous inférieurs à L-\-e, e étant un nombre positif quelconque.

En effet , puisque L„ tend vers L en diminuant , on peut toujours

déterminer n de façon que L„ soit plus petit que L-\-e; or aucun des nombres

ne surpasse L„, ils sont donc aussi tous < L -|- « .

Parmi les nombres

«j , «2 > % > • • • il y en a toujours un qui est, soit =: L^, soit > Lj — e. Soit Uk ce nombre, il est visiblement plus grand que L — « puisque Lj ^ L.

Ensuite , parmi les nombres

Uk + l, MA; + 2, Uic + 3, •••

il y en aura un qui est, soit = L^ + i, soit > L/c + i — e. Soit Mj ce nombre, il sera encore plus grand que L — s. De même, parmi les nombres

Mi + l, Mi+2, Mi+3, ...

il y en aura toujours un Um, qui est plus grand que L( + i — s, et, par conséquent , aussi plus grand que L — s.

En continuant ainsi , il est clair que , dans la suite

Mj , 14,2, % > • • • >

on peut trouver une infinité de nombres

Mfc, M«, Mm, ...

qui sont tous plus grands que L — e. Les indices k, l, m, . . . vont en augmentant ; or nous savons déjà que tous les nombres de la suite

à partir d'un certain rang , sont inférieurs à L + e. Il en sera de même pour la suite

Uic, Ui , Mxî) • • • j

et nous arrivons à ce résultat :