II. Dans la suite
il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre L — e et L-j-«, e étant un nombre positif quelconque.
On verra de la même façon F. Les nombres
Mj , M., } '^S > • • • >
à partir d'un certain rang, sont tous supérieurs à l — e. 11°. Dans la suite
il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre l — e et i 4- e.
La considération de ces nombres L et l est due à M. du Bois-Reymond, qui l'a exposé dans un livre paru en 1882 et qui a été traduit en français par MM. Milhaud et Girot. M. du Bois-Reymond appelle L et l les limites d'indétermination des nombres u„; on voit en effet que, pour n infini , u„ finit par osciller entre ces limites Et il est évident aussi que les nombres m„ ne tendent vers une limite déterminée que lorsqu'on a L = i.
La première application qu'on a faite de cette considération nous paraît due à M. Hadamard qui a remarqué que, dans le cas
Cn
le rayon de convergence de la série
est égal à 1 : L.
Cn ^
41. Je reviens maintenant à la fonction <p„{u) défini au n" 36. C'est une fonction croissante qui est bien déterminée, même aux points de discontinuité.
Elle ne varie qu'entre les limites
Soit maintenant u un nombre fixe, positif ou nul, et considérons la suite infinie
<Pi{u), <pA»)i Ç'sW. •••.
Ces nombres sont limités ; je désignerai les limites correspondantes L et l par
en sorte qu'on aura
yj (u) ^ X (W)-
Il est clair du reste que y (0) = ;^ (0) = 0. et si pour quelque valeur particulière de m on a
nous pourrons en conclure , d'après ce qui précède , que , pour « = » ,
lim (p„ (u) = yj(u) = x (M).
La fonction ç}„ (u) étant croissante, on reconnaît immédiatement que les fonctions tp (m) et x (") sont aussi croissantes. Ainsi , sous la condition a <i b, on aura
A ces inégalités, nous allons en ajouter une autre d'une très grande importance : c'est celle-ci
(3) via)^xif>).
Mais la démonstration de cette inégalité exige quelques préparatifs
